Mostrar por combinatoria argumento de que ${2n\choose 2} = 2{n \choose 2} + n^2$

Question

Así que me fue dada esta pregunta. Mostrar por combinatoria argumento de que ${2n\choose 2} = 2{n \choose 2} + n^2$

Aquí está mi solución:

Dado $2n$ objetos, dividir en $2$ grupos de $n$, $A$ y $B$. $2$-las combinaciones pueden ser montados tanto de $A$, tanto de $B$ o uno de cada. Hay${n \choose 2}$$A$${n \choose 2}$$B$. Para la pareja mixta, cada una selección de $A$ puede ser acoplado con $n$ opciones de $B$ por lo que el total es $n^2$.

Por lo tanto, ${2n\choose 2} = 2{n \choose 2} + n^2$

La correcta es esta. ¿Hay alguna otra combinatoric prueba para resolver esto?

Answer 1

Otra manera de pensar acerca de ello:

Vamos a encontrar el coeficiente de $x^2$ en la expansión de $(1+x)^{2n}$. Por un lado, es igual a ${2n}\choose2$. Por otro lado, es igual al coeficiente de $x^2$ en la expansión de $(1+x)^n(1+x)^n$ que es igual a la suma de los productos de los coeficientes de $x^0$ y $x^2$, $x^1$ y $x^1$, e $x^2$ $x^0$ en la expansión de $(1+x)^n$. Eso es igual a ${n\choose2}\cdot{ n\choose0}+{n\choose1}\cdot{ n\choose1}+{n\choose0}\cdot{ n\choose2}$ y el resultado de la siguiente manera.