No todos los métricos se derivan de una norma

Question

He estudiado que todo espacio normado $(V, \lVert\cdot \lVert)$ es un espacio métrico con respecto a la función de distancia

$d(u,v) = \lVert u - v \rVert$, $u,v \in V$.

Mi pregunta es si cada métrica en un espacio lineal puede ser inducida por una norma. Sé que la respuesta es no pero necesito una justificación adecuada.

Edición: ¿Existe algún método para verificar si un espacio métrico dado es inducido por una norma?

Gracias por la ayuda

Answer 1

Sea $V$ un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{F}$. Una norma $$\| \cdot \|: V \longrightarrow \mathbb{F}$$ en $V$ satisface la condición de homogeneidad $$\|ax\| = |a| \cdot \|x\|$$ para todo $a \in \mathbb{F}$ y $x \in V$. Por lo tanto, la métrica $$d: V \times V \longrightarrow \mathbb{F},$$ $$d(x,y) = \|x - y\|$$ definida por la norma es tal que $$d(ax,ay) = \|ax - ay\| = |a| \cdot \|x - y\| = |a| d(x,y)$$ para todo $a \in \mathbb{F}$ y $x,y \in V$. Esta propiedad no es satisfecha por métricas generales. Por ejemplo, sea $\delta$ la métrica discreta $$\delta(x,y) = \begin{cases} 1, & x \neq y, \\ 0, & x = y. \end{cases}$$ Entonces, $\delta$ claramente no satisface la propiedad de homogeneidad de una métrica inducida por una norma.

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Para responder a tu edición, llama a una métrica $$d: V \times V \longrightarrow \mathbb{F}$$ homogénea si $$d(ax, ay) = |a| d(x,y)$$ para todo $a \in \mathbb{F}$ y $x,y \in V$, y invariante por traslación si $$d(x + z, y + z) = d(x,y)$$ para todo $x, y, z \in V$. Entonces, una métrica homogénea e invariante por traslación $d$ se puede utilizar para definir una norma $\| \cdot \|$ mediante $$\|x\| = d(x,0)$$ para todo $x \in V$.

Answer 2

Aquí hay otro ejemplo interesante: Sea $|x-y|$ la distancia euclidiana usual entre dos números reales $x$ e $y$. Sea $d(x,y)=\min\{|x-y|,1\}$, la métrica acotada derivada estándar. Ahora supongamos que consideramos $\Bbb{R}$ como un espacio vectorial sobre sí mismo y preguntamos si $d$ proviene de alguna norma en $\Bbb{R}$. Entonces, si existe tal norma, digamos $||.||$, debemos cumplir con la condición de homogeneidad: para cualquier $\alpha \in \Bbb{R}$ y cualquier $v \in \Bbb{R}$,

$$||\alpha v || = |\alpha| ||v||.$$

Pero ahora tenemos un problema: La métrica $d$ está claramente acotada por $1$, pero podemos tomar $\alpha$ arbitrariamente grande de manera que $||.||$ no tenga límites. Se deduce que $d$ no proviene de ninguna norma.

Answer 3

Como Henry indica arriba, las métricas inducidas por una norma deben ser homogéneas. Puedes ver que también deben ser invariantes a la traslación: $d(x+a,y+a)= d(x,y)$. Por lo tanto, cualquier métrica que no cumpla alguna de estas condiciones no puede provenir de una norma.

Por otro lado, resulta que estas dos condiciones sobre la métrica son suficientes para definir una norma que induzca esa métrica: $d(x,0)=\| x \|.

Answer 4

Cada métrica homogénea induce una norma a través de: $$\|x\|:=d(x,0)$$ y cada norma induce una métrica homogénea y invariante por traslación: $$d(x,y):=\|x-y\|$$

La pista aquí radica en si la norma inducida realmente representa la métrica como: $$d(\cdot,\cdot)\to\|\cdot\|\to d(\cdot,\cdot)$$ lo cual es el caso solo para las métricas invariante por traslación: $$d'(x,y)=d(x-y,0)=d(x,y)$$ mientras que la métrica inducida siempre representa la norma como: $$\|\cdot\|\to d(\cdot,\cdot)\to\|\cdot\|$$ como muestra una simple verificación: $$\|x\|'=\|x-0\|=\|x\|$$

Answer 5

Nota personal:

Buena pregunta, recuerdo haberme preguntado lo mismo cuando era nuevo en análisis real. Aquí tienes un contraejemplo:

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Contraejemplo

$$\begin{equation} d(x,y):=I_{\{(x,x)\}}(x,y):=\begin{cases} 1 &:\, \,x=y\\ 0 &:\, \,x\neq y. \end{cases} \end{equation}$$ Esto de hecho es una métrica (verifícalo como ejercicio).

Donde $I_A$ es la función indicadora del conjunto $A$; donde en este caso el conjunto $(x,x)\in V\times V$.

Si $r\in \mathbb{R}-\{0\}$, entonces $d(rx,ry)\in \{0,1\}$ por lo tanto $rd(x,y)\in \{0,r\}$ lo cual no está en el rango de $d:V\times V \rightarrow \mathbb{R}$.

Por lo tanto, la métrica $d$ no cumple con la propiedad que cualquier métrica inducida por una norma debe tener, es decir: $$\begin{equation} \mbox{falla en tener la propiedad de: } \|rx-ry\| =r\|x-y\|. \end{equation}$$

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Interpretación e Intuición:

El problema es que la topología es demasiado fina, por lo que todo lo que esta topología puede hacer es distinguir entre cosas que son iguales o diferentes.
A diferencia de una topología de norma que distingue entre objetos que están, o no están en la misma línea (para alguna noción apropiada de línea) (así como ser diferentes).

¡Espero que esto ayude! :)