Probabilidad de que al menos una persona reciba exactamente dos ases de cinco cartas

Question

Tres jugadores reciben, de manera aleatoria, cinco cartas cada uno de una baraja que contiene 52 cartas. Cuatro de las 52 cartas son ases. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una persona reciba exactamente dos ases en sus cinco cartas?

Sea $A_i$ representando al jugador $i$ con dos ases donde $i = 1,2,3$. La probabilidad de que un jugador reciba dos ases es la siguiente. $$P(A_i) = \frac{{4 \choose 2}{48 \choose 3}}{{52 \choose 5}} \approx .0399$$

Luego, la probabilidad de que al menos una persona reciba exactamente dos ases es la siguiente. $$3 \cdot .0399 - 3 \cdot .0399^2 \approx .1149$$

¿Es esto correcto?

Answer 1

Has utilizado la Inclusión/Exclusión. Esa es una buena idea, pero la parte de exclusión necesita ser recalculada. Por ejemplo, calculemos la probabilidad de que A y B reciban exactamente $2$ Ases cada uno. Esta es la probabilidad de que A reciba $2$ Ases, por la probabilidad de que B reciba $2$ Ases dado que A ya recibió $2$. Entonces, B está recibiendo sus $5$ cartas de una baraja que tiene $2$ Ases y $45$ cartas que no son Ases. La probabilidad de que B reciba $2$ Ases dado que A recibió $2$ es $\binom{45}{3}/\binom{47}{5}$. Bastante pequeña.