Creo que el número complejo es realmente solo un vector 2D con un producto definido de manera diferente. Pero ¿cuál es el significado de la forma en que se define el producto para el número complejo: $(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)$? ¿Por qué no vamos con algo así como esto $(-y_2,x_1y_2+x_2y_1)$? Todavía tenemos $i^2=-1$ ¿verdad?
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idok
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Cuando tratas con $(a,b)$, lo que realmente deberías tener en cuenta es $a + bi$, incluso si aún no lo has definido formalmente de esa manera. Ahora, teniendo eso en mente, la multiplicación se vuelve completamente natural a partir de la necesidad de satisfacer la distributividad, la conmutatividad y la asociatividad (y $i^2 = -1$):
$$(a + bi)(c+di) = ac + adi + bic + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$$
Entonces, en la definición formal de la multiplicación de números complejos escribiríamos
$$(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc)$$
Jonathan Brown
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326
Es muy útil definir la multiplicación de los números complejos de manera que se obtenga un campo. Esta multiplicación debe extender la multiplicación de los números reales, ser asociativa, tener inversos para los elementos no nulos y satisfacer la propiedad distributiva. Definidos de la forma habitual, los números complejos tienen la propiedad increíblemente útil de que todo polinomio con coeficientes en los números complejos tiene una raíz. Aunque hay otras formas de definir la multiplicación en los números complejos (por ejemplo, en lugar de sumar $\sqrt{-1}$ a los números reales, agregar una raíz cúbica no trivial de 1), las reglas para multiplicar no serán tan agradables.
law-of-fives
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Ya sabemos cómo multiplicar sumas porque la multiplicación se distribuye sobre la adición, así que esta es la regla $(a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = ac+ad+bc+bd$. Si es posible (¡puede que no!) nos gustaría usar esta regla.
Entonces no sabemos qué es $\sqrt{-1}$. Pero si fuera un número como los entendemos (¡puede que no!), debería satisfacer esta multiplicación. Entonces
$$(a+b\sqrt{-1})(c+d\sqrt{-1}) = a(c+d\sqrt{-1}) + b\sqrt{-1}(c+d\sqrt{-1}) \\ = ac + ad\sqrt{-1} + bc\sqrt{-1} + bd\sqrt{-1}\sqrt{-1}$$
Ahora, por nuestro entendimiento de lo que significa una raíz cuadrada, queremos que $\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1} = -1$, así que nuestro producto es simplemente
$$(ac-bd) + (ad+bc)\sqrt{-1}$$
Un número complejo es de hecho solo un vector de dos componentes. Cuando lo definimos así, tenemos la multiplicación por un número complejo $a+b\sqrt{-1}$ como la multiplicación por la matriz
$$\pmatrix{a & -b \\ b & a}$$
Si trabajas a través del álgebra de $\pmatrix{a & -b \\ b & a}\times \pmatrix{c \\ d}$ entonces verás que son idénticos. También podemos usar esto para demostrar que $A\times (B + C) = A\times B + A\times C$, que $A\times(B\times C) = (A\times B)\times C$, que $A\times B = B\times A$ y que si tanto $a$ como $b$ son distintos de cero entonces $A^{-1}$ existe y $A\times A^{-1} = 1.
Así que esta es una definición muy fructífera de multiplicación. Casi se nos impone por nuestro entendimiento previo.
