Pregunta sobre cómo manejar $\lim \sup / \inf$ en la prueba del Teorema de Convergencia Dominada generalizado

Question

Tengo problemas para entender la manera en que se maneja $\lim \sup / \inf$ en la siguiente prueba de una versión generalizada del LDCT. Específicamente, mi pregunta es con las partes (1) y (3). ¿Por qué podemos decir que $$\lim_{n \rightarrow\infty}\inf \int (g_n - f_n) = \int g - \lim_{n\rightarrow\infty}\sup \int f_n$$ y $$\lim_{n \rightarrow\infty}\inf \int (g_n + f_n) = \int g + \lim_{n\rightarrow\infty}\inf \int f_n$$ No logro entender cómo aparecen el $\lim \sup$ y el $\lim \inf$.

Answer 1

No es cierto que $\liminf_{n}(a_n + b_n) = \liminf_{n}a_n + \liminf_{n}b_n$. Lo que es cierto es que si $a_n \to a$, entonces $\liminf_{n}(a_n + b_n) = a + \liminf_{n}b_n$. Esto se sigue de $$\inf_{k \geq n}a_k + \inf_{k \geq n}b_k \leq \inf_{k \geq n}(a_k + b_k) \leq \sup_{k \geq n}a_k + \inf_{k \geq n}b_k.$$