Sea $E/\mathbf{C}$ una curva elíptica con CM por el orden maximal $\mathcal{O}_K$ de $K=\mathbf{Q}(\sqrt{-D})$ donde $D$ es un entero positivo y libre de cuadrados. Para ser más precisos, asumamos que $E=\mathbf{C}/\Lambda_{\tau}$, donde $\Lambda_{\tau}=\mathbf{Z}+\tau\mathbf{Z}$ y $\tau$ está en el semiplano superior de Poincaré. Dotamos a $E$ con la métrica plana usual proveniente del plano complejo, por lo que $E$ viene equipado con una forma de volumen. Consideremos el endomorfismo $[\sqrt{-D}]:E\rightarrow E$. Sea $\Gamma\subseteq E\times E$ el gráfico de $[\sqrt{-D}]$. Entonces $\Gamma$ es isomorfo (como variedad compleja) a $E$, en particular es un ciclo de dimensión 2 en $E\times E$. Dotamos a $\Gamma$ con la métrica inducida proveniente de $E$ a través del mapa $[\sqrt{-D}]$. También dotamos a $E\times E$ con la métrica del producto proveniente de $E$. Ahora sea $\eta$ la dualidad de Poincaré de $\Gamma$: entonces si $\iota:\Gamma\hookrightarrow E\times E$ denota la inclusión, para todo $\omega\in A^2(E\times E)$, tenemos $\int_{\Gamma}\iota^*\eta=\int_{E\times E}\omega\wedge \eta$. Sean $a,b\in H^1(E,\mathbf{Z})$ una base orientada estándar de $E$: $a$ corresponde a la clase de cohomología del vector orientado que une $0$ con $1$, $b$ corresponde a la clase de cohomología del vector orientado que une $0$ con $\tau$, entonces $a\cdot b=1$ (o $b\cdot a=-1$). A través de la fórmula de Kuenneth, obtenemos un isomorfismo privilegiado $H^*(E\times E)\simeq\oplus_{i=1}^4 H^{i}(E)\otimes H^{4-i}(E)$. Mediante este isomorfismo, existen números reales $c_i$ ($i=1\ldots 4$) tales que $$ \eta=c_1\cdot(a\otimes a)+c_2\cdot(a\otimes b)+c_3\cdot(b\otimes a)+c_4\cdot(b\otimes b). $$ En general se espera que los $c_i$ dependan de $D$. Por otro lado, no sé si los $c_i$ dependerán de la clase de Picard de $\Lambda_{\tau}$ en general.
Pregunta: ¿Existe un método para calcular los números $c_i$ de forma sistemática, de manera que podamos ver claramente su dependencia en $D$?
