Cortar un sándwich con una costra

Question

Deje $S$ ser una simple curva cerrada en ${\Bbb R}^2$ que encierra una región convexa $I$.

Debe existir una línea recta que corta a $S$ en dos piezas de igual longitud y también recortes $I$ en dos regiones de igual área? Si es así, ¿cómo puede una línea?

[Si la respuesta es "no, porque el sándwich podría tener un límite patológico", a continuación, tenga en cuenta también el caso de no patológicas sándwiches.]

Answer 1

Vamos $$s\mapsto z(s)\qquad(0\leq s\leq L)$$ ser la izquierda la representación de la masa con respecto a la longitud de arco. Mantenga una cuchillos sobre el sándwich de conexión de los puntos de $z(0)$$z(L/2)$, y asumir que el área a la derecha de los cuchillos es más de la mitad del sándwich. El turno ahora de los cuchillos lentamente en sentido antihorario, de modo que en todo momento los puntos de$z(s)$$z(s+L/2)$. Cuando llegamos a $s=L/2$ tienen menos de la mitad del sándwich a la derecha de los cuchillos. Por el teorema del valor intermedio, tiene que haber una posición $\sigma\in\ ]0,L/2[\ $ de los cuchillos para que la zona de el sándwich está exactamente a la mitad.

Answer 2

Yo no soy matemático, pero aquí es un handwaving argumento de que la respuesta es "sí", que tal vez alguien más pueda carne. Cualquier línea que va por el centro de masa de la región se cortó en dos. Tomar una línea de norte a sur pasando por este centro y llame a su norte de la intersección con la S y el sur de la intersección B. Llame a esta línea L y llamar a la longitud de la curva entre a y B, su "derecho" longitud y la longitud de la curva de B a a su "izquierda longitud". Si son iguales que hemos terminado. De lo contrario, por simetría decir que la izquierda longitud es menor que la longitud correcta.

Ahora rota la línea de 180 grados a la forma L'. Lo que fue la izquierda la longitud de la L es ahora el derecho de la longitud de L', y viceversa, por lo que la izquierda longitud de L' es mayor que su longitud correcta. Por el teorema del valor intermedio, cuando rotamos L y lo convirtió en L', en algún punto de la izquierda de la longitud y la longitud debe haber sido igual. Esa línea es la línea deseada.

Answer 3

1. Considere S, una cerrada región convexa en R^2. Primero vamos a diana dividiendo el área. Una línea puede ser encontrado en cualquier dirección n, que ofrece impresionantes de la región I. Esto es debido a que: Considere la posibilidad de una línea que está fuera de S, entonces esta línea de recortes de la región I en una fracción de 0:1. Ahora atravesar esta línea todo el tiempo, y en paralelo a sí mismo, al otro lado de S. Ahora la línea de los recortes de la región I en proporción de 1:0. Dado que esta es una continua el recorrido se, no existe una posición en la línea de los recortes de la región en proporción 1:2.
   Ahora bien, este argumento es cierto para cualquier dirección n, y para cualquier convexa de la región. Por lo tanto existe una línea en cualquier dirección que se bisecar un convexo de la región I.

Ahora, para la longitud de S. Considere la recta l, que los recortes de la región I en la mitad tiene una dirección n como es normal. Vamos a un y b ser las longitudes de las curvas que están hacia el n y -n, respectivamente. Y deja d = a-b (diferencia). Ahora, podemos convertir la línea continua y obtener varios n, por el mantenimiento de la condición de que la línea que divide la región I(desde arriba). Así, cuando la dirección de la normal de la línea es -n, entonces d = -(a-b).
Aquí, (a-b) o -(a-b) es negativo y otro positivo. Por lo tanto, d ha variado continuamente a partir de positivo a negativo, y por lo tanto deben haber adquirido 0(cero) a una cierta posición de n. Que los estados que a = b, y por lo tanto las longitudes son iguales.

Así, podemos encontrar una línea que se biseca el área y el perímetro de una región convexa simultáneamente.