Una duda sobre la extensión del teorema de la factorización de Weierstrass

Question

Según el teorema de factorización de Weierstrass, la función seno puede ser representada como un producto de sus factores:

$$\sin(x)-0=(x) \left(1 - \frac{x}{\pi} \right) \left(1 + \frac{x}{\pi} \right) \left(1 - \frac{x}{2\pi} \right) \left(1 + \frac{x}{2\pi} \right) \left(1 - \frac{x}{3\pi} \right) \left(1 + \frac{x}{3\pi} \right) \cdots$$

¿Sería incorrecto extender esto para cualquier $\sin(x)-k=0$??

¿Es válido representar $$\sin(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}=(\frac{-1}{\sqrt{2}}) \left(1 - \frac{4x}{\pi} \right) \left(1 - \frac{4x}{3\pi} \right) \left(1 + \frac{4x}{5\pi} \right) \left(1 + \frac{4x}{7\pi} \right) \cdots??$$

(Ya que, los factores de $\sin(x)-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ son: $\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{-5\pi}{4},\dfrac{-7\pi}{4},\cdots$)

O también, $$\sin(x)-\cos(x)=(-1) \left(1 - \frac{4x}{\pi} \right) \left(1 + \frac{4x}{3\pi} \right) \left(1 - \frac{4x}{5\pi} \right) \left(1 + \frac{4x}{7\pi} \right) \cdots??$$

(Ya que, los factores de $\sin(x)-\cos(x)$ son: $\dfrac{\pi}{4},\dfrac{-3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{-7\pi}{4},\cdots$)

Answer 1

El teorema del producto de Weierstraß es más complicado, dice que para un conjunto de ceros y multiplicidades ${a_k,n_k}$, sin un punto límite finito de las posiciones $a_k$, existen funciones analíticas

$$F_0(z) = (z-a_0)^{n_0}\prod_{m=1}^\infty \left( (1-\frac{z-a_0}{a_m-a_0}) \ e^{\text{A}_m}\right)^{n_m} $$

con

$$\text{A}_m = \sum_{n=0}^m \frac{1}{k_n} \left( \frac{z-a_0}{a_m-a_0} \right)^{k_n} $$

Para una elección adecuada del conjunto de $k$. Dos funciones de este tipo difieren por una función entera.

Con todas las multiplicidades iguales a 1, los exponentes $n_m$ desaparecen.