¿Cuándo es la distribución de $|X+Y|^2$ equivalente a $|X|^2+|Y|^2$?

Question

Estoy tratando de calcular la distribución de la siguiente $$Z=\bigl(X+Y\bigl)^2$$ PERO tengo que tanto $X$ como $Y$ son Nakagami con parámetro $m$. (Una variable aleatoria Nakagami es la raíz cuadrada de una variable aleatoria Gamma). Por lo tanto, lo anterior es difícil de derivar en general (tendría que tomar la convolución asumiendo que los sumandos son independientes..)

Entonces mi alternativa es resolver $$W=X^2+Y^2$$ lo cual es más fácil de calcular ya que será la suma de dos distribuciones Gamma con parámetros de escala y forma $m$ y también es Gamma distribuido.

Mi pregunta es, ¿cuándo se puede argumentar que $W$ y $Z$ tienen la misma distribución, es cuando X e Y no están correlacionados entonces son equivalentes? ¿o nunca serán equivalentes?

Answer 1

Sin más información sobre la distribución Nakagami o incluso la dimensión de $X$ y $Y$, aquí hay un caso en el que $Z$ y $W$ tienen la misma distribución:

Si expandes $W=(X+Y)^2$, obtienes $$ W=(X+Y)^2 = X^2+2YX+Y^2=Z+2XY $$ por lo tanto $W=Z$ cuando $XY=0$ con probabilidad 1.

Sospecho que este es el único caso no trivial en el que $Z$ y $W$ comparten la misma distribución.