¿Es el producto cartesiano de un número infinito de $\mathbb{Z}^+$ numerable?

Question

Conocemos que el producto cartesiano de un número finito de $\mathbb{Z}^+$ es contable, por ejemplo, $\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+$, porque, si $m, n, p$ son de cada uno de los $\mathbb{Z}^+$, podemos encontrar una función biyectiva $2^m 3^n 5^p$ que los mapea a un subconjunto de $\mathbb{Z}^+$. Pero ¿qué pasa si aumentamos el número de $\mathbb{Z}^+$ a (contable) infinito, es decir,

$$ \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \times \cdots $$ ?

Answer 1

Para tu producto infinito, asigna $(n_1,n_2,\ldots,)$ al subconjunto $\{n_1,n_2,\ldots\}$. Entonces obtendrás una sobreyección sobre ${\mathbb P}({\mathbb Z}^+)$, que tiene una cardinalidad mayor que la cardinalidad de ${\mathbb Z}^+$ según el teorema de Cantor. Así que tu producto infinito tiene una cardinalidad mayor o igual a la de ${\mathbb P}({\mathbb Z}^+)$, y de hecho es igual, lo cual se puede demostrar con un poco más de trabajo. Es la misma cardinalidad que el conjunto de números reales, lo cual también se puede demostrar con un poco más de trabajo. Lo que es cierto es que la unión de infinitos conjuntos numerables es numerable, pero no el producto.