$f$ sea una función en la recta real que lleva conjuntos compactos a conjuntos compactos y la fibra de cada punto bajo $f$ es cerrada, ¿es $f$ continua?

Question

Sea $f:\mathbb R \to \mathbb R$ una función tal que lleva conjuntos compactos a conjuntos compactos y $f^{-1}(\{x\})$ es cerrado para todo $x \in \mathbb R$, ¿entonces $f$ es continua?

(Sé que si $f$ es una función en la recta real con valor medio del teorema del valor intermedio y la preimagen de cada singleton es cerrada, entonces $f$ es continua; también si una función en la recta real tiene valor medio del teorema del valor intermedio y lleva conjuntos compactos a conjuntos compactos, entonces $f$ es continua; esta pregunta está motivada por esos dos hechos)

Answer 1

Supongamos que $f$ no es continua por la derecha en $x_0$ y $f(x_0)=y_0$. Observa que para todo $x>x_0$, $f([x_0,x])$ es compacto. Entonces existe una secuencia $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $y_1\neq y_0$ tal que $x_n>x_0$, $\lim_{n\to+\infty}x_n=x_0$ y $\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=y_1$. Además, $y_1\in f([x_0,x])$ para todo $x$ debido al compacto. También $f^{-1}(\{y_1\})$ es cerrado, y $f(x_0)=y_0\neq y_1$. Así que $x_0$ se encuentra en un conjunto abierto $(a,b)$ tal que $y_1\notin f((a,b))$. Es una contradicción.

Answer 2

Pista: Según el teorema de Heine-Borel, todo subconjunto compacto de $\mathbb R$ es cerrado y acotado. Por lo tanto, f lleva conjuntos cerrados a conjuntos cerrados.

Afirmación: Una función f de X en Y es continua si y sólo si las preimágenes de conjuntos cerrados en Y son cerrados en X.

Si puedes demostrar esto, mostrarás que la respuesta es sí.