Convergencia débil e índice aleatorio

Question

Supongamos que $X_n$ y $N_n$ son variables aleatorias ($N_n$ es de valores enteros) tales que $(X_n, N_n/n)$ converge débilmente en conjunto a $(X,1)$. No se hace NINGUNA suposición sobre la independencia entre $X_n$ y $N_n$. Basado en el artículo:

Aldous, David J. "Weak convergence of randomly indexed sequences of random variables." Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Vol. 83. No. 1. Cambridge University Press, 1978

se necesita una suposición adicional sobre $X_n$ para concluir la convergencia débil de $X_{N_n}$ a la distribución de $X$. Sin embargo, supongamos que se utiliza la representación de Skorokhod, de modo que en el mismo espacio de probabilidad, tenemos que $(X_n^*,N_n^*/n)$ converge casi seguramente a $(X^*, 1)$. ¿No implicaría esto que $X_{N_n*}^*\rightarrow X^*$ casi seguramente y por lo tanto concluir la convergencia débil de $X_{N_n}$ a $X$? ¿Dónde está el error?

Answer 1

Si solo sabemos que $(X_n, N_n) \overset{d}{=} (X_n^*, N_n^*)$ para todo $n$, no se sigue que $X_{N_n^*}^* \overset{d} = X_{N_n}$. La distribución de $X_{N_n}$ depende de toda la distribución conjunta de $(N_n, X_1, X_2, X_3, \dots)$, la cual la construcción de Skorokhod no necesariamente preserva.

Así que aunque $X_{N_n^*}^* \to X^*$ casi seguramente, no se deduce que $X_{N_n} \to X$ en distribución.

Por ejemplo trivial, supongamos que $X_1 = N_2 = 0$, y que $X_2, N_1$ son cada uno "lanzamientos de moneda" que están distribuidos uniformemente en $\{1,2\}$, y que $X_2, N_1$ son independientes. Sea $X_1^* = N_2^* = 0$, sea $X_2^*$ distribuido uniformemente en $\{1,2\}$, y sea $N_1^* = X_2^*$. Entonces tenemos:

• $(X_1, N_1) \overset{d}{=} (X_1^*, N_1^*)$, ya que ambos pares están distribuidos uniformemente en $\{(0,1), (0,2)\}$

• $(X_2, N_2) \overset{d}{=} (X_2^*, N_2^*)$, ya que ambos pares están distribuidos uniformemente en $\{(1,0), (2,0)\}$

• $X_{N_1}$ toma los valores $0,1,2$ con probabilidades $1/2$, $1/4$, $1/4$ respectivamente

• $X^*_{N_1^*}$ toma los valores $0$ y $2$ con probabilidades $1/2$.