Tensor de productos que se producen en muchos lugares y hasta hace poco yo pensaba que entendía por lo menos razonablemente bien. Durante las últimas semanas, sin embargo, he asistido a varias charlas donde el producto tensor $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ jugado algún papel y me di cuenta de que yo en realidad no sé muy bien qué pensar de esto. Por tanto, me pregunto si hay alguna manera de pensar acerca de este objeto (este producto tensor) que hace que sea más fácil de entender. ¿Cómo puedo obtener algunos intuición? Puede haber alguna buena interpretación geométrica, tal vez?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Álgebra lineal sobre ℚ representa, en realidad, una antigua idea de conmensurabilidad. Aunque tensor de productos que no son de álgebra lineal, esta forma de pensar la ayuda suficiente para la comprensión de la "⊗ℚ", con algunos de solicitud de orden de la teoría.
Primero de todo, ¿cómo debemos visualizar primaria tensores? Considerar para mayor claridad, sólo los positivos, es decir, representable como ℓ ⊗ ℎ donde ℓ, ℎ ∈ (0, +∞). Es natural que ponerlo en "plano Cartesiano" como un rectángulo de ancho ℓ y la altura ℎ:
ℎ↕■■ ←→ ℓ
Que la geometría debe nuestro "plano Cartesiano" para tener una buena ℝ ⊗ℚ ℝ? Es conveniente asumir las traducciones, pero definitivamente no puede permitir que para girar formas, desde ℓ ⊗ ℎ ≠ ℎ ⊗ ℓ, en general (a partir de ahora, "⊗" se refiere sólo a "⊗ℚ").
Vemos, nuestras formas son equivalentes a la disección a la igualdad de piezas y el montaje en orden diferente. Por ejemplo, el rectángulo del dibujo anterior es equivalente a
■↑2ℎ ■↓ ↔ ℓ ∕ 2
Cuando es la suma ℓ1 ⊗ ℎ1 + ℓ2 ⊗ ℎ2 equivalente a una primaria tensor? Puramente algebraica, si y sólo si (ℓ1 y ℓ2 son conmensurables o ℎ1 y ℎ2 son proporcionales). En el primer caso se puede volver a montar los dos rectángulos estrechos y altos, de la misma anchura, y, a continuación, conecte de forma vertical. En este último caso podemos volver a montar los dos rectángulos largos y bajos, de la misma altura y, a continuación, conectar horizontalmente, como
[ ] + [ ] = [ ][ ]
Obviamente, no sólo podemos agregar formas, pero también restar ellos de una manera similar:
[ ][ ] − [ ] = [ ]
¿Qué acerca de sumas y diferencias que no son tensores elementales, es decir, rectángulos? No hay ningún problema con la adición de dos arbitraria rectángulos: solo lugar sin superposición y considerar la forma resultante delimitada por no más de 4 trazos horizontales y no más de 4 movimientos verticales. Puede ser conectado o discontinuo por la traducción de las partes, como uno desea. Es fácil darse cuenta de que cualquier forma limitada por un número finito de horizontal y vertical de trazos es una suma de un número finito de rectángulos.
Sustracción arbitraria de los rectángulos es un poco más complicado. Desde el postulado de Arquímedes sigue que si ℓ ℎ > ℓ− ℎ−, ℓ, ℎ, ℓ−, ℎ− ∈ (0, +∞), entonces ∃ℓ', ℎ' ∈ (0, +∞) tal que ℓ' ⊗ ℎ' = ℓ ⊗ ℎ y ℓ' ≥ ℓ− y ℎ' ≥ ℎ−, que implica que podemos restar ℓ− ⊗ ℎ− de ℓ' ⊗ ℎ' en un geométricamente de manera evidente, por la talla. También nos da una pista de que ℝ ⊗ℚ ℝ es un orden parcial con un epimorphism m: ℝ ⊗ℚ ℝ → ℝ de ordenada abelian grupos de la
b ≠ una ∧ b ≥ un ⇔ m(b) > m(una), ∀b, un ∈ ℝ ⊗ℚ ℝ
la propiedad, pero este razonamiento no constituye una rigurosa prueba, por supuesto. "m" es, obviamente, el área de una figura.
Ahora sabemos lo suficiente como para afirmar que los elementos positivos de ℝ ⊗ℚ ℝ son las mismas que las formas en el plano Cartesiano y delimitada por un número finito de horizontal y vertical de trazos, hasta volver a montar (que significa finito de disección, la traducción de las partes, y unirse de nuevo). El pleno la prueba permanece como un ejercicio, pero vale la pena señalar que, como corolario, tenemos el hecho de que cualquier elemento positivo de ℝ ⊗ℚ ℝ puede ser representada como una suma finita de sólo positivo primaria tensores (es decir, rectángulos).
Un esbozo de la prueba de la siguiente manera, como un algoritmo para sumar y restar cualquier número finito de rectángulos, siempre que la superficie total de agregado rectángulos supera el área total de la resta.
Agregar todos los rectángulos con "+" signos.
Si no hay ningún rectángulos para restar, entonces todo hecho.
Elija algunos rectángulo ℓ− ⊗ ℎ− (con signo"−").
Volver a montar (si es necesario) nuestra forma de cubrir algunos ℓ− × ℎ− rectángulo completamente.
Tallar ℓ− ⊗ ℎ− de la forma.
Vaya al Paso 2.
La única pregunta que queda es: ¿qué hacer con el (no-cero) elementos de ℝ ⊗ℚ ℝ que no son ni positivos ni negativos? Debido a la m(·) = 0 (ver el orden parcial cosas de arriba) el positivo en el área de la forma de interpretación basado en la falla de este interesante caso.
Actualización: para manejar ambos signos, se puede considerar un verdadero espacio vectorial de todas las funciones definidas a trozos constante de funciones de una variable real con número finito de piezas y limitado apoyo y, a continuación, hacer un cociente de espacio por todos unidimensional traducciones (por el lapso de imágenes de todos los Tx − I, x ∈ ℝ operadores). En esta configuración ℓ ⊗ ℎ, ℓ > 0 se representa por una función que da ℎ entre 0 y ℓ (los extremos no son importantes) y es cero en otro lugar. Espacio vectorial estructura de la captura de la derecha "ℝ" en el producto tensor, y "m" se convirtió en la integral de Riemann.
