Estoy leyendo los siguientes dos artículos:
- Pappas, Sobre los esquemas de módulos aritméticos de las variedades de Shimura PEL, 1999 (parece ser difícil de encontrar en línea en la actualidad, solo queda disponible un archivo .ps),
- Krämer, Modelos locales para grupos unitarios ramificados, 2003.
Sea $n\geq 1$ y consideremos enteros $r,s\geq 0$ tales que $r+s = n$. Sea $K_0$ un campo $p$-ádico con $p\not = 2$, y sea $K$ una extensión cuadrática ramificada de $K_0$. El modelo local (naïve) de firma $(r,s)$ asociado a un espacio $K/K_0$-hermítico de dimensión $n$ es un esquema proyectivo $M_{r,s}$ sobre $\mathcal O_K$, definido por un problema explícito de módulos de álgebra lineal. En general, por ejemplo, cuando $|r-s|> 1$, no es plano. Para subsanar esto, Pappas introduce el modelo local $M_{r,s}^{\mathrm{loc}}$ mediante una ligera modificación del problema de módulos. Viene acompañado de una inmersión cerrada $M_{r,s}^{\mathrm{loc}}\hookrightarrow M_{r,s}$. En el caso especial $(r,s) = (n-1,1)$, Pappas demuestra que $M_{n-1,1}^{\mathrm{loc}}$ es normal, Cohen-Macaulay, plano sobre $\mathrm{Spec}(\mathcal O_K)$ y suave fuera de un único punto cerrado $y\in M_{n-1,1}^{\mathrm{loc}}$ de la fibra especial.
En ambos artículos, los autores consideran el escenario anterior. Luego construyen una resolución de la singularidad de $M_{n-1,1}^{\mathrm{loc}}$, pero a priori de dos maneras diferentes:
- Pappas considera la descomposición $\mathrm{Bl}(M_{n-1,1}^{\mathrm{loc}})$ de $M_{n-1,1}^{\mathrm{loc}}$ en $y$.
- Krämer construye un nuevo modelo local $\mathcal M_{n-1,1}$ agregando datos adicionales al problema de módulos que define $M_{n-1,1}^{\mathrm{loc}}$.
Ambas construcciones, $\mathrm{Bl}(M_{n-1,1}^{\mathrm{loc}})$ y $\mathcal M_{n-1,1}$, dan lugar a esquemas regulares proyectivos sobre $\mathcal O_K$ con reducción semiestable. Ambas vienen con un mapa natural al modelo local $M_{n-1,1}^{\mathrm{loc}}$, induciendo un isomorfismo fuera de la fibra sobre $y$.
Parece muy probable que ambas construcciones sean en realidad isomorfas, es decir, $\mathcal M_{n-1,1} \simeq \mathrm{Bl}(M_{n-1,1}^{\mathrm{loc}})$. Sin embargo, esto no parece estar indicado en ninguna parte de la literatura, hasta donde puedo decir. Además, Krämer se refiere al trabajo de Pappas diciendo que
Primero tenemos que resolver las singularidades del modelo local. En [Pappas], esto se hizo mediante la descomposición del locus singular. Nuestro enfoque es diferente: Definimos una resolución $\mathcal M_{n-1,1} \to M_{n-1,1}^{\mathrm{loc}}$ planteando un problema de módulos análogo a la resolución de Demazure de una variedad de Schubert en la Grassmanniana.
En otras palabras, Krämer parece enfatizar que esta construcción a priori difiere de la de Pappas. Si realmente dieron lugar a resoluciones isomorfas, uno esperaría al menos una mención de este hecho en la introducción...
Por lo tanto, me gustaría preguntar a cualquier persona que esté familiarizada con los modelos locales. ¿Se sabe si las dos construcciones anteriores son isomorfas o no?
