La ley del enfriamiento de Newton, la sopa

Question

La ley de enfriamiento de Newton establece que la temperatura $T(t)$ de un objeto en el tiempo $t > 0$ cambia a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura $T_s$ de su entorno, siempre que esta diferencia no sea demasiado grande. Es decir, $T(t)$ satisface

$\quad T'(t) = k (T(t) - T_s)$

donde k es una constante.

Supongamos que la temperatura de una taza de sopa obedece a la ley de enfriamiento de Newton. Si la sopa tiene una temperatura de $\; 190^\circ\, F$ al ser servida a un cliente, y 5 minutos más tarde se enfría a $\; 180^\circ\, F$ en una habitación a $\; 72^\circ\, F$, ¿cuánto más tiempo le tomará a la sopa alcanzar una temperatura de$ \; 135^\circ\, F?

Respuesta (1) en minutos adicionales = ?

Si la misma taza de sopa a $190^\circ\, F$ se coloca en un congelador ajustado a $30^\circ\, F,$ ¿cuál es el tiempo necesario para que la sopa se enfríe de $190^\circ\, F a 135^\circ\, F$ en esta situación?

Respuesta (2) en minutos = ?

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Después de ver el tutorial sobre la Ley de Enfriamiento, intenté usar la fórmula:

$ T(t) = T_{surrounding} - Ce^{-kt}$ (¿fórmula general para enfriamiento?)

$C = (T - T_s)$

$T(t) = 72 - 118e^{-kt}$ (para mi caso)

Para encontrar k:

$180 = 72 - (190-72) \cdot e^{-k \frac{5}{60}}$

$180 = 72 - 118e^{-k \frac{1}{12}}$

$ k = -12 \cdot ln(\frac{-54}{59})$

Luego, para obtener la respuesta a (1):

$135 = 72 - 118e^{-kt}$

$ 135 = 72 - 118e^{12 \cdot ln(\frac{-54}{59}) \cdot t}$

$ t = \frac{ln(\frac{-63}{118})}{12 \cdot ln(\frac{-54}{59}) \cdot t} $

¡Pero esa no es la respuesta correcta!

Luego intenté una fórmula diferente para obtener la respuesta a (1):

$T(t) = (T - T_s) e^{kt} + T_s$

$T(t) = 118e^{kt} + 72$

$180 = 118e^{k \cdot 5/60} + 72$

$k = 12 ln(\frac{54}{59})$

Pero incluso con este valor de k obtengo la respuesta incorrecta, ¿por qué?

Y sí, absolutamente debo asumir que t debería estar en formato horas.

Answer 1

Nota, en la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura $T(t)$ se asume que está disminuyendo con respecto al tiempo, por lo tanto, la tasa de cambio de la temperatura $T'(t)=\frac{dT}{dt}$ se toma como negativa, por lo tanto, tenemos la siguiente ecuación de enfriamiento $$T'(t)=-k(T(t)-T_s)$$ $$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_s) \implies \frac{dT}{(T-T_s)}=-kdt$$ $$\int \frac{dT}{(T-T_s)}=-k\int dt$$ $$\ln(T-T_s)=-kt+C$$$$\implies T=e^{-kt+C}+T_s\tag 1$$

Ahora, estableciendo $T(t)=\text{temperatura inicial}=T_0$ en $t=0$, obtenemos $$T_0=e^{0+C}+T_s\implies C=\ln(T_0-T_s)$$ Por lo tanto, estableciendo el valor de $C$ en (1), la ecuación de enfriamiento se da como $$kt=\ln\left(\frac{T_0-T_s}{T-T_s}\right)\tag 2$$ $\color{blue}{\text{Condición dada}}$: La temperatura desciende de $\color{red}{(T_0=\color{blue}{190^\circ\ F})\to (T=\color{blue}{180^\circ\ F})}$ en $\color{red}{t=\color{blue}{5\ minutos}}$ a una temperatura ambiente/circundante de $\color{red}{T_s=\color{blue}{72^\circ \ F}}$ por lo tanto, estableciendo todos los valores en (2), obtenemos $$k(5)=\ln\left(\frac{190-72}{180-72}\right)\implies k=\color{blue}{\frac{1}{5}\ln\left(\frac{59}{54}\right)}$$ Ahora, el tiempo $t$ requerido para que la temperatura caiga de $\color{red}{(T_0=\color{blue}{190^\circ\ F})\to (T=\color{blue}{135^\circ\ F})}$ por lo tanto, estableciendo todos los valores en (2), obtenemos $$t=\frac{1}{k}\left(\frac{190-72}{135-72}\right)=\frac{1}{\frac{1}{5}\ln\left(\frac{59}{54}\right)}\ln\left(\frac{118}{63}\right)$$ $$t=\frac{5\ln\left(\frac{118}{63}\right)}{\ln\left(\frac{59}{54}\right)}\approx \color{red}{\color{}{35.43\ minutos}}$$ Ahora, el tiempo $t$ requerido para que la temperatura caiga de $\color{red}{(T_0=\color{blue}{190^\circ\ F})\to (T=\color{blue}{135^\circ\ F})}$ a una temperatura circundante de $\color{red}{T_s=\color{blue}{30\circ \ F}}$ (colocado en un congelador) por lo tanto, estableciendo todos los valores en (2), obtenemos

$$t=\frac{1}{k}\left(\frac{190-30}{135-30}\right)=\frac{1}{\frac{1}{5}\ln\left(\frac{59}{54}\right)}\ln\left(\frac{32}{21}\right)$$ $$t=\frac{5\ln\left(\frac{32}{21}\right)}{\ln\left(\frac{59}{54}\right)}\approx \color{red}{\color{}{23.78\ minutos}}$$

Answer 2

En primer lugar, es mejor configurar el exponente como negativo (factor k positivo) para que no ocurra ningún error en el signo, como sucedió aquí.

$ \quad T'(t) = -k (T(t) - T_s)$

Después de todo, no se está calentando...

También

$$ (T(t)- T_s) = (T_{hot}- T_s) e^{- k t } $$

$$ {- k\,t }= log_e \dfrac { T(t)- T_s} { T_{hot}- T_s} $$

lo cual ayuda a calcular la constante $k$

Answer 3

$\dot T=k(T_s-T)$
$\dot T=k(72-T)$
$\dot T+kT=72k$
Solución homogénea
$T_h=Ce^{-kt}$
Solución particular
$T=72$
Solución general, por superposición
$T=72+Ce^{-kt}$
$T_0=T(0)=190$
$190=72+Ce^{-k(0)}$, $C=118$
$180=72+118e^{-k(5)}$, $k=(1/5)ln(59/54)$
Ahora podemos escribir la solución
$T=72+118e^{-(1/5)ln(59/54)t}$
Y para $T=135$
$135=72+118e^{-(1/5)ln(59/54)t}$
Encontramos $t=35.43$ min
Ahora, respuesta (1), los minutos adicionales son
$35.43 - 5.00 = 30.43$ min

Para respuesta (2):
$\dot T=k(30-T)$
$\dot T+kT=30k$
Solución homogénea
$T_h=Ce^{-kt}$
Solución particular
$T=30$
Solución general, por superposición
$T=30+Ce^{-kt}$
$T_0=T(0)=190$
$190=30+Ce^{-k(0)}$, $C=160$
$k$ es una constante que ya encontramos: $k=(1/5)ln(59/54)$
Ahora podemos escribir la solución
$T=30+160e^{-(1/5)ln(59/54)t}$
Y para $T=135$
$135=30+160e^{-(1/5)ln(59/54)t}$
Encontramos $t=23.78$ min