Teorema de Stone-Weierstrass y Polinomios en el espacio real multidimensional

Question

El teorema de Stone-Weierstrass en el intervalo cerrado $[a, b]$ (en $\mathbb{R}$) establece que cualquier función continua $f$ en $[a, b]$ puede aproximarse por una función polinómica $p$, arbitrariamente cerca de $f$.

A partir de la observación anterior, me pregunto si esto se puede aplicar directamente al caso multidimensional: ¿es cierto que cualquier función continua $f:X \rightarrow \mathbb{R}^m$, donde $X \subset \mathbb{R}^n$ es compacto, puede aproximarse por una función polinómica $p$, es decir, $$\forall x\in X, \|f(x) - p(x)\|< \epsilon ?$$ Si es así, por favor muéstrame un ejemplo detallado (cualitativamente).

Answer 1

La afirmación estándar del teorema de Stone-Weierstrass es la siguiente: sea $X$ un espacio topológico compacto de Hausdorff, y $\mathcal A$ una subálgebra de las funciones continuas de $X$ a $\mathbb R$ que está cerrada bajo conjugación compleja y separa los puntos ($\forall x_1\neq x_2\in X, \exists f\in\mathcal A$ tal que $f(x_1)\neq f(x_2)$). Entonces $\mathcal A$ es densa en $C(X,\mathbb R)$ en la norma del supremo.

Especifiquemos con un ejemplo, donde $X$ es un subconjunto cerrado y acotado de $\mathbb R^n$, y tenemos la subálgebra de funciones polinomiales (funciones que son polinomiales en cada variable). Estas funciones son definitivamente continuas, y cerradas bajo la suma y la multiplicación punto a punto, que es la multiplicación de funciones. La única dificultad es demostrar que separa los puntos. Para dos puntos $\vec x=(x_1,\ldots,x_n)$ y $\vec y=(y_1,\ldots,y_n)$, si no son iguales, entonces no son iguales para algún índice $i$, y la función polinomial $p(x_1,\ldots,x_n)=x_i$ los separa. Por lo tanto, esta subálgebra es densa.

Answer 2

Wikipedia cita el teorema de Stone-Weierstrass como

Teorema de Stone-Weierstrass (números reales). Supongamos que $X$ es un espacio compacto de Hausdorff y $A$ es una subálgebra de $C(X, \Bbb R)$ que contiene una función constante no nula. Entonces $A$ es denso en $C(X, \Bbb R)$ si y solo si separa puntos.

Es decir, la única propiedad real del intervalo cerrado $[a,b]$ que es necesaria para el teorema es que sea compacto y Hausdorff.

Y las únicas propiedades necesarias del álgebra de funciones polinomiales en este espacio compacto de Hausdorff es que sea una subálgebra de las funciones continuas valuadas en reales (es decir, se pueden sumar y multiplicar polinomios juntos y escalarlos por números reales, y siempre terminar con polinomios), que contenga alguna función constante no nula, y que pueda separar puntos (es decir, para cualquier par de puntos, hay al menos un polinomio que evalúa en valores distintos en los dos puntos).

Esto se aplica inmediatamente a funciones polinomiales en más de una variable, así como lo hace con funciones polinomiales en una sola variable, además de un conjunto de otras clases de funciones (como senos de diferentes frecuencias para series de Fourier).