Calcula el determinante de la siguiente matriz simétrica de $n \times n$:

Question

Sea $n$ un entero positivo y $A = (a_{ij})_{n\times n}$, donde $a_{ij} = |i-j|$, para $i = 1, 2, \dots, n$ y $j = 1, 2, \dots, n$. Calcula $\det A$.

Observé que $a_{ii} = 0$ y $a_{ij} = a_{ji}$, así que A es una matriz simétrica. También vi que, si hacemos la notación $A_n$ para la A con n elementos, $A_n$ se construye a partir de $A_{n-1}$ con $n-1, n-2, \dots, 0$ como elementos para la última fila y la última columna. Intenté utilizar la expansión de Laplace pero sin resultados.

Así es como se ve $A_n$: $A_n=\begin{bmatrix} 0&1&2& .&.&. &n-1\\ 1&0&1&2& .&.&n-2 \\ 2&1&0&1&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&2 \\ .&.&.&.&.&.&1 \\ n-1&n-2&.&.&2&1&0 \end{bmatrix}$

Calculé para unos pocos números pequeños: $\det A_1 = 0$, $\det A_2 = -1$, $\det A_3 = 4$, $\det A_4 = -12$, $\det A_5 = 32$, pero no encontré una regla para poder encontrar el determinante a través de la inducción. ¿Puedes ayudarme en esto?

Answer 1

Hint. Consider the second-order differences of the rows. When $n\ge3$, $$ \pmatrix{1&-2&1\\ &1&-2&1\\ &&\ddots&\ddots&\ddots\\ &&&1&-2&1\\ &&&&1&0\\ &&&&&1}A_n =\pmatrix{0&2\\ \vdots&0&\ddots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots\\ 0&\cdots&\cdots&0&2\\ n-2&n-3&\cdots&1&0&1\\ n-1&n-2&\cdots&\cdots&1&0}. $$

Answer 2

Puedes seguir este enfoque:
$$A_n=\begin{bmatrix} 0&1&2& .&.&. &n-1\\ 1&0&1&2& .&.&n-2 \\ 2&1&0&1&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&2 \\ .&.&.&.&.&.&1 \\ n-1&n-2&.&.&2&1&0 \end{bmatrix} $$ Ahora, suma la última columna a la primera, notarás que siempre será igual a $n-1$. $(C_1 = C_1+C_n)$

$$\begin{bmatrix} n-1&1&2& .&.&. &n-1\\ n-1&0&1&2& .&.&n-2 \\ n-1&1&0&1&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&2 \\ .&.&.&.&.&.&1 \\ n-1&n-2&.&.&2&1&0 \end{bmatrix} =(n-1)\begin{bmatrix} 1&1&2& .&.&. &n-1\\ 1&0&1&2& .&.&n-2 \\ 1&1&0&1&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&2 \\ .&.&.&.&.&.&1 \\ 1&n-2&.&.&2&1&0 \end{bmatrix}$$ Desde aquí, podemos hacer lo siguiente:
ir desde la última fila hacia la primera y disminuir el valor de cada fila con la de arriba (para cualquier fila menos la primera). ($\forall i \neq 1, R_i=R_i-R_{i-1}$, Comenzando con $i=n$ luego $i=n-1 ... i=2$) $$ = (n-1)\begin{bmatrix} 1&1&2& .&.&. &n-1\\ 0&-1&-1&-1& .&.&-1 \\ 0&1&-1&-1&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&. \\ .&.&.&.&.&.&-1 \\ .&.&.&.&.&.&-1 \\ 0&1&.&.&1&1&-1 \end{bmatrix}$$ Expandir $C_1$: $$ = (n-1)\begin{bmatrix} -1&-1&-1& .&.&-1 \\ 1&-1&-1&.&.&. \\ .&.&.&.&.&. \\ .&.&.&.&.&-1 \\ .&.&.&.&.&-1 \\ 1&.&.&1&1&-1 \end{bmatrix}$$ Ahora suma la primera fila a todas las demás filas ($\forall i \neq 1, R_i = R_i + R_1$) $$ = (n-1)\begin{bmatrix} -1&-1&-1& .&.&-1 \\ 0&-2&-2&.&.&. \\ .&.&-2&.&.&. \\ .&.&.&.&.&-2 \\ .&.&.&.&.&-2 \\ 0&.&.&0&0&-2 \end{bmatrix} = (n-1)[-1*(-2)^{n-2}]$$