Sea $a_1> a_2> ...> a_r$ sean números reales positivos. Calcular $\lim_{n\to\infty}(a_1^n+a_2^n+...+a_r^n)^{1/n}$.
Mi enfoque: Dado que $a_i$ son números reales positivos, esto implica que por la desigualdad AM-GM tenemos $$\frac{a_1^n+a_2^n+...+a_r^n}{r}\ge(a_1.a_2.\cdots.a_r)^{n/r}$$ $$\implies a_1^n+a_2^n+...+a_r^n\ge r(a_1.a_2.\cdots.a_r)^{n/r}$$ $$\implies (a_1^n+a_2^n+...+a_r^n)^{1/n}\ge r^{1/n}(a_1.a_2.\cdots.a_r)^{1/r}...(1)$$
Nuevamente, dado que $a_i$ son números reales positivos, esto implica que por la desigualdad RMS-AM tenemos $$\left(\frac{a_1^{2n}+a_2^{2n}+...+a_r^{2n}}{r}\right)^{1/2}\ge \frac{a_1^n+a_2^n+...+a_r^n}{r}$$ $$r^{1/2}\left(a_1^{2n}+a_2^{2n}+...+a_r^{2n}\right)^{1/2}\ge a_1^{n}+a_2^{n}+...+a_r^{n}$$ $$r^{1/2n}\left(a_1^{2n}+a_2^{2n}+...+a_r^{2n}\right)^{1/2n}\ge \left(a_1^{n}+a_2^{n}+...+a_r^{n}\right)^{1/n}...(2)$$
Ahora, dado que $a_1\ge a_i,$ $\forall r,$ implica que $a_1^{2n}\ge a_i^{2n}, \forall r,$ lo que a su vez nos ayuda a concluir que $$\sum_{i=1}^ra_1^{2n}\ge \sum_{i=1}^ra_i^{2n}$$ $$\implies r.a_1^{2n}\ge a_1^{2n}+a_2^{2n}+...+a_r^{2n}$$ $$\implies r^{1/2n}.a_1\ge (a_1^{2n}+a_2^{2n}+...+a_r^{2n})^{1/2n}$$ $$\implies r^{1/n}.a_1\ge r^{1/2n}(a_1^{2n}+a_2^{2n}+...+a_r^{2n})^{1/2n}...(3)$$
Combinando $(1),(2)$ y $(3)$, podemos concluir que $$r^{1/n}.a_1\ge r^{1/2n}(a_1^{2n}+a_2^{2n}+...+a_r^{2n})^{1/2n}\ge \left(a_1^{n}+a_2^{n}+...+a_r^{n}\right)^{1/n}\ge r^{1/n}(a_1.a_2.\cdots.a_r)^{1/r}$$
$$\implies r^{1/n}.a_1\ge \left(a_1^{n}+a_2^{n}+...+a_r^{n}\right)^{1/n}\ge r^{1/n}(a_1.a_2.\cdots.a_r)^{1/r}$$
$$\implies \lim_{n\to\infty}r^{1/n}.a_1\ge \lim_{n\to\infty}\left(a_1^{n}+a_2^{n}+...+a_r^{n}\right)^{1/n}\ge \lim_{n\to\infty}r^{1/n}(a_1.a_2.\cdots.a_r)^{1/r}$$
$$\implies a_1\ge \lim_{n\to\infty}\left(a_1^{n}+a_2^{n}+...+a_r^{n}\right)^{1/n}\ge (a_1.a_2.\cdots.a_r)^{1/r}$$
¿Cómo proceder después de esto?
