Rápido(est) y formas intuitivas de mirar a la multiplicación de la matriz?

Question

La mayoría del tiempo veo que la multiplicación de la matriz presentado y definido, como aparentemente arbitrario de la secuencia de operaciones. Por ejemplo, el libro que estoy leyendo actualmente para un curso de álgebra lineal se define el producto $AB$ $(i, j)$ entrada en el $1 \times 1$ matriz que es el producto de la i-ésima fila de a $A$ y la columna j de a $B$. Propiedades de la multiplicación de la matriz, posteriormente probado, basado en esta definición. La definición es clara, pero ¿por qué la matriz producto es útil no está claro para mí como estudiante. Un diferentes libros de texto estoy de referencia define el producto en $AB$ en términos de combinaciones lineales.

El problema que tengo es hacer la multiplicación de la matriz rápidamente con la mano, especialmente cuando el$A$$p \times 1$$B$$1 \times q$. Me gustaría saber de cómo ver o definir la multiplicación de la matriz, de una manera que hace que sea fácil (para el estudiante promedio) para calcular a mano, siendo intuitiva y consistente para el uso posterior de las pruebas.

wikipedia tiene un gran artículo.

Answer 1

Tal vez la mejor manera de ver la multiplicación de la matriz cuando se desea calcular un producto con la mano es como sigue:

(Véase también la comparables ilustración en la página de la wikipedia.)

Cuando estás de computación a mano, simplemente golpee la segunda matriz para hacer espacio para el producto en la esquina inferior derecha.

Tenga en cuenta que la esquina superior izquierda debe ser un cuadrado, que re-confirma el requisito de que "las columnas de a $A$" = "filas de $B$"; además, se puede ver que $A\times B$ hereda su dimensión de fila de $A$ y su dimensión de columna de $B$.

Answer 2

La multiplicación de la matriz se define como lo que se refleja en la composición de los lineales de los mapas. No más, no menos.

Answer 3

Es importante entender cómo multiplicar $AB$ por el reconocimiento de que cada columna de $AB$ es una combinación lineal de las columnas de a $A$ con la correspondiente columna de $B$ diciendo que en particular combinación lineal; del mismo modo que cada fila de $AB$ es una combinación lineal de las filas de $B$ con la fila correspondiente de $A$ diciendo que en particular combinación lineal.

Esto está cubierto en cualquier razonable de texto de álgebra lineal. Esta perspectiva es útil para hacer hormigón cálculos a mano, así como para la comprensión de las matrices teóricamente. En particular, esta interpretación de la multiplicación de matrices es muy útil para la comprensión de eliminación Gaussiana y para estudiar el rango de una matriz.

Answer 4

En general, vamos a $A$ $m\times n$ y deje $B$$n\times l$. Deje $A_i=(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in})$ $i$th fila de $A$, $1\leq i\leq m$ y deje $B_j=(b_{1j},b_{2j},\dots,b_{nj})$ $j$ésima columna de $B$, $1\leq j \leq l$. Dado un vector de fila $\overline x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ y un vector de fila $\overline y =(y_1;y_2;\dots;y_n)$, definir $$\overline x\cdot \overline y=\sum_{i=1}^n x_iy_i$$

Entonces podemos definir $$A\cdot B$$ as the matrix who has as entries $$(AB)_{ij}=A_iB_j=\sum_{k=1}^n a_{ki}b_{jk}$$

donde interpretamos cada fila y columna como un vector de fila y columna del vector respectivamente.

Usted puede escribir como $$A\cdot B=\left( \begin{matrix} A_1B_1&A_1B_2&\cdots&A_1B_l\\ A_2B_1&A_2B_2&\cdots&A_2B_l \\\vdots&{}&{}&\vdots \\A_mB_1&A_mB_2&\dots&A_mB_l\end{matrix} \right)$$