La respuesta es negativa. Supongamos por contradicción que $S$ es una superficie así, y permítanme asumir primero que es suave y proyectiva.
Fijemos $g\geq 24$. Entonces, el espacio moduli grueso de curvas de género $g$ $M_g$ es de tipo general (esto se debe a Harris, Mumford y Eisenbud, ver por ejemplo [La dimensión de Kodaira del espacio moduli de curvas de género $\geq 23$]), por lo tanto, a fortiori no es unirreducido. Sea $H$ el esquema de Hilbert de curvas suaves de género $g$ en $S$ y sea $(H_i)_{i\in I}$ sus componentes irreducibles: el conjunto de índices $I$ es contable. Por hipótesis, el morfismo clasificador $H\to M_g$ es sobreyectivo en el nivel de los puntos de $\mathbb{C}$. Por un argumento de categoría de Baire, existe $i\in I$ tal que $H_i\to M_g$ es dominante.
Supongamos que el morfismo natural $H_i\to \operatorname{Pic}(S)$ es constante. Entonces $H_i$ es un subconjunto abierto de un sistema lineal en $S$, por lo tanto, está cubierto por (subconjuntos abiertos de) curvas racionales. Por nuestra elección de $g$, $H_i\to M_g$ no puede ser dominante, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $H_i\to \operatorname{Pic}(S)$ no puede ser constante, lo que prueba que $\operatorname{Pic}^0(S)$ no puede ser trivial. De manera equivalente, la variedad de Albanese $A$ de $S$ no es trivial.
Consideremos el morfismo de Albanese $a:S\to A$. Las curvas embebidas en $S$ son o contraídas por $a$ o tienen un morfismo no trivial a $A$. Aquellas que son contraídas por $a$ forman una familia acotada, por lo tanto tienen un género acotado. Las curvas $C$ que tienen un morfismo no trivial a $A$ son tales que hay un morfismo no trivial $\operatorname{Jac}(C)\to A$, pero esto es imposible si $\operatorname{Jac}(C)$ es simple de dimensión $>\dim(A)$. En consecuencia, una curva suave con jacóbiano simple que tiene un género suficientemente alto no puede ser embebida en $S$. Esto concluye porque una curva muy general de género $g$ tiene un jacóbiano simple (incluso existen curvas hiperelípticas así por [Zarhin, Jacobianos hiperelípticos sin multiplicación compleja]).
Como se señala en los comentarios, el argumento necesita ser modificado si $S$ es no algebraica o singular. Explico ahora estos argumentos adicionales.
Si $S$ es suave pero no algebraica, podemos usar la siguiente variante (probablemente excesiva). Podemos considerar el espacio abierto $H$ del espacio de Douady de $S$ parametrizando curvas conectadas suaves en $S$. Es una unión contable de variedades cuasiproyectivas según [Fujiki, Contabilidad del espacio de Douady de un espacio complejo] y [Fujiki, Proyectividad del espacio de divisores en un espacio complejo compacto normal]. Tiene un morfismo analítico al espacio analítico $\operatorname{Pic}(S)$ parametrizando haces de líneas en $S$ [Grothendieck, Técnicas de construcción en geometría analítica IX §3]. La dimensión de $\operatorname{Pic}(S)$ es finita igual a $h^1(S,\mathcal{O}_S)$. La dimensión de las fibras de $H\to\operatorname{Pic}(S)$ es a lo sumo $1$. De hecho, de otra manera, tendríamos un sistema lineal de dimensión $>1$ en $S$ consistiendo genéricamente de curvas conectadas suaves, por lo tanto, un mapa racional dominante $S\dashrightarrow\mathbb{P}^2$, mostrando que $S$ es de dimensión algebraica $2$, por lo tanto, que $S$ es algebraica. Se sigue que cada componente conectada de $H$ tiene dimensión $\leq h^1(S,\mathcal{O}_S)+1$. Ahora elijamos $g$ tal que $\dim(M_g)>h^1(S,\mathcal{O}_S)+1$, y sea $H_g$ la unión de componentes conectadas de $H$ parametrizando curvas de género $g$. Un argumento de categoría de Baire aplicado a la imagen de $H_g\to M_g$ muestra que hay curvas de género $g$ que no se incrustan en $S$, como se deseaba.
Finalmente, si $S$ es singular, consideremos una desingularización $\tilde{S}\to S$. La hipótesis sobre S implica que toda curva proyectiva suave puede ser incrustada en $\tilde{S}$, con la excepción de un número finito de clases de isomorfismo de curvas (es decir, las curvas que son componentes conectadas del lugar sobre el cual $\tilde{S}\to S$ no es un isomorfismo). Los argumentos anteriores también se aplican en esta situación.
