¿Cuándo se elimina el valor absoluto de ln|x| + C al integrar $\frac{1}{u}du$?

Question

Dado: p(t) representa el número de gatos, cuando t>=0.
Dado: p(t) está aumentando a una tasa directamente proporcional a $800-p(t)$

Entonces, lo represento como: $\frac{dp}{dt}= k(800-P)$

Quiero p(t), así que separo e integro: $\int{\frac{dp}{800-p}} = \int{kdt}$

Cuando integro, me dicen que esto da como resultado $-ln(800-p)=kt+c$

¿No debería ser: $-ln|800-p|=kt+c$?

¿Por qué eliminaron el valor absoluto?
¿Significa la formulación de los datos que $800-p$ siempre es positivo?

Answer 1

Creo que la respuesta probablemente se deba al hecho de que $800-p$ no puede ser negativo. No sé exactamente qué representa el 800, pero parece probable que $800-p$ no pueda ser un número negativo, de lo contrario no funcionaría. Espero que tenga sentido. Habría agregado esto como un comentario, pero actualmente no puedo.

Answer 2

Dado solo la información proporcionada, la única razón por la que podemos asumir que 800-p no es negativo es que estamos tomando su logaritmo. Esto tiene sentido en términos del modelo; 800 está funcionando como un techo de población, ya que la tasa de aumento disminuye a medida que $p$ se acerca a 800.