¿Por qué manipular la expresión ayuda?

Question

Considera el límite $$\lim_{x\rightarrow 1}\frac {x^2-1}{x-1} $$ Sustituir $1 $ por $ x $ dará como resultado $\frac00 $, lo cual no es bueno. Sin embargo, si simplificamos la expresión, obtenemos: $$\lim_{x\rightarrow 1}\frac {x^2-1}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1}(x+1)$$ Ahora, al sustituir $1 $ obtenemos la respuesta $2 $. Mi pregunta es: ¿por qué demonios debería ayudarnos simplificar la expresión a encontrar el límite? Las dos expresiones anteriores son absolutamente equivalentes. Es decir, si sustituyo, por ejemplo, $10 $ en $(x+3)^2 $ y $x^2+6x+9 $, obtengo la misma respuesta - $169 $.

Answer 1

Ellos no son absolutamente equivalentes, aunque en este caso son iguales en todas partes excepto en $x=1$. Por lo tanto, formalmente, como funciones, son diferentes.

Es esta estrecha relación entre las dos funciones la que permite este lema:

Si las funciones $f,g$ son iguales en algún intervalo $(a,b)$ excepto posiblemente en un punto $c\in(a,b)$, y si $\lim_{x\to c}f(x)$ existe, entonces también existe $\lim_{x\to c}g(x)$, y los dos límites son iguales.

Esto es muy fácil de probar incluso con un argumento epsilon delta. El hecho clave es que puedes intercambiar $g(y)$ con $f(y)$ para cualquier $y$ que no sea $x$ en el intervalo.

Así que la moraleja de la historia es que los límites no pueden distinguir entre dos funciones que difieren solo en un punto (y claramente lo mismo es cierto para cualquier conjunto de puntos que puedan estar separados entre sí por intervalos).

Answer 2

Solo puedes simplificar la expresión cuando $x\neq 1$. En todos los demás casos ($x\neq 1$) la expresión es $x+1$. Por lo tanto, simplemente escribe $x+1$ para todo $x\in \mathbb R -\text{{1}}$ y luego toma el valor a medida que te acercas a $1$ desde ambos lados, que en este caso es $2$.

Answer 3

Los límites nos hablan sobre el comportamiento de una función en un entorno, y no en el punto mencionado.

En tu ejemplo $$\frac{x^2-1}{x-1} and\ x+1 $$ son la misma cosa, excepto en el punto $x=1$. Así que, las dos representaciones son equivalentes siempre y cuando no vayas a $x=1$.

Ahora, el límite en $x=1$ nos dirá a qué valor se aproxima la función (no necesariamente el valor exacto de la función en el punto). Dado que, en las cercanías de $x=1$ la función se comporta exactamente como $x+1$, por lo tanto sustituimos $x+1$ por la función $\frac {x^2-1}{x-1}$.

Answer 4

Primero, necesitas preguntarte por qué funciona enchufar un número en la expresión. Hablando con precisión, necesitas descubrir la condición bajo la cual se cumple la siguiente expresión $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

La respuesta es la continuidad. En otras palabras, para una función continua $f\colon\Bbb R\to\Bbb R$, tenemos $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\quad\forall a\in\Bbb R$$

Ahora, ¿es $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ continua en $\Bbb R$? Obviamente no, porque $g$ ni siquiera está definida en $x=1$. Por lo tanto, enchufar un número nunca funcionará para $g$.

Segundo, ¿por qué funciona simplificar una expresión? La respuesta es muy simple: siempre puedes simplificar una expresión siempre que puedas. Además, el límite de una función en $x=1$ es solo un comportamiento de una función en el entorno de $x=1$

Por lo tanto, para calcular el límite $$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$$ primero notamos que $(x^2-1)/(x-1)$ no es continua en $x=1$. Por lo tanto, enchufar $x=1$ en la expresión no funcionará. Luego, en el entorno de $x=1$, $g$ es equivalente a $(x+1)$, simplificamos la expresión y obtenemos $$\lim_{x\to 1}(x+1)$$ Ahora, ¿es $(x+1)$ continua en $x=1$? ¡Por supuesto que sí! Ahora, puedes enchufar $x=1$ en $(x+1)$ para obtener la respuesta final.