Encontrar una base ortonomal para el subespacio W

Question

Pregunta: Considera el espacio de producto interno $C_{[-1,1]}$ con $$\langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x)~dx$$

Sea $$W = span(1, x+1, x^2)$$

Encuentra una base ortonormal para el subespacio de $W$.

La manera en la que abordé esta pregunta es utilizando el proceso de Gram-Schmidt para encontrar una base ortogonal y luego normalizar los vectores dividiendo entre sus tamaños:

Aquí está mi enfoque:

$$W = sp(1, x+1, x^2) = \{(1,0,0), (1,1,0), (0,0,1)\}$$

$$x_1 = (1,0,0), x_2 = (1,1,0), x_3 = (0,0,1)$$

$$\mathbf v_1 = x_1 = (1,0,0)$$ $$\mathbf v_2 = x_2 - proj_{v_1}x_2= (1,1,0)-\frac{(1,1,0)(1,0,0)}{(1,0,0)(1,0,0)}(1,0,0) = (0,1,0)$$ $$\mathbf v_3 = x_3 - proj_{v_1}x_3 - proj_{v_2}x_3= (0,0,1)-\frac{(0,0,1)(1,0,0)}{(1,0,0)(1,0,0)}(1,0,0) - \frac{(0,0,1)(0,1,0)}{(0,0,1)(0,1,0)}(0,1,0) = (0,0,1)$$

Por lo tanto, la base ortogonal es: $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

y para encontrar una base ortonormal normalicé los vectores dividiendo entre sus tamaños, lo cual terminó siendo lo mismo: $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

Sin embargo, obtuve un cero en esta pregunta y no sé dónde me equivoqué. ¿Debía usar de alguna forma este hecho: $\langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x)~dx$ en esta pregunta? No estoy muy seguro de cómo hacerlo. Si alguien pudiera ayudarme con esto, sería muy apreciado.

Answer 1

Aquí está lo que obtuve haciendo Gram-Schmidt:

primero encontraré tres funciones ortogonales $q_1, q_2, q_3$ y luego las haré de longitud uno.

defino $q_1 = 1.$ ahora $1 + x = k q_1 + q_2$ donde $k$ se determina por $ = 0$ así que $$\int_{-1}^1 (1 + x)dx = k \int_{-1}^1 dx \mbox { da } k = 1, q_2 = x$$

ahora para encontrar $q_3$ defino $x^2 = k q_1 + l q_2 + q_3$ y requiero $ = 0 = $ lo cual es $$\int_{-1}^1 x^2 dx = k \int_{-1}^1 dx, \int_{-1}^1 x x^2 = l \int_{-1}^1 x^2 dx \mbox{ dando } k = \frac{1}{3}, l = 0 \mbox{ entonces } q_3 = x^2 - 1/3$$

poniendo todo esto junto $\{1, x, x^2 - 1/3\}$ es una base ortogonal. al hacer de longitud uno esta base se convierte en $$\{1/2, \sqrt{3/2} x^2, 3/2\sqrt 2(x^2-1/3)\}. $$

Answer 2

Pista: El operador de proyección se define como: $$proj_{\textbf{u}}(\textbf{v}) = \frac{\left<\textbf{u},\textbf{v}\right>}{\left<\textbf{u},\textbf{u}\right>}\textbf{u}$$