¿Cuándo podemos decir que los elementos del producto tensorial son iguales a $0$?

Question

Estoy aprendiendo sobre productos tensoriales de módulos, ¡pero hay una pregunta que me confunde mucho al respecto!

Si $E$ es un $R$-módulo derecho y $F$ es un $R$-módulo izquierdo, entonces supongamos que tenemos un mapa balanceado (o mapa bilineal) $E\times F\to E\otimes F$. Si algún elemento $x\otimes y \in E\otimes F$ es $0$, ¿podemos decir que $x$ o $y$ deben ser iguales a $0$? Sé que si $x = 0$ o $y = 0$, entonces $x\otimes y$ es $0$. ¿Hay otros casos en los que $x\otimes y$ es $0$? ¿Alguien puede darme un ejemplo específico?

¡Realmente gracias!

Answer 1

Por la propiedad universal del producto tensorial, un tensor elemental $x\otimes y$ es igual a cero si y solo si para cada mapa $R$-bilineal $B:E\times F\to M$, $B(x,y)=0$. Aunque esto pueda parecer difícil de comprobar, en la práctica generalmente no es tan malo.

Como ejemplo, mostraremos que $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}=0$. Sea $x\otimes y\in\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ un tensor elemental. Luego, por la bilinealidad del mapa canónico $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$, tenemos $$ x\otimes y=x\otimes 5y/5=5(x\otimes y/5)=5x\otimes y/5=0\otimes y/5=0. $$ Esto muestra que todos los tensores elementales son cero, y por lo tanto, como el producto tensorial está generado por tensores elementales, $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}=0$.

Podemos demostrar que un tensor elemental $x\otimes y$ es diferente de cero al dar un mapa $R$-bilineal $B:E\times F\to M$ tal que $B(x,y)\neq 0$. Como ejemplo, consideremos $E=F=\mathbb{Z}$ como módulos sobre $\mathbb{Z}$ y el mapa $\mathbb{Z}$-bilineal $B:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ dado por la multiplicación: $B(x,y)=xy$. Entonces, si $x,y\neq 0$, $B(x,y)\neq 0$, de modo que $x\otimes y\neq 0$ en $\mathbb{Z}\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}$ cuando $x,y\neq 0$.

Answer 2

No es posible encontrar una caracterización clara de cuándo los tensores simples son cero.

Para dar un ejemplo donde $a, b$ son distintos de cero pero $a\otimes b=0$, considera $\Bbb Z/6\Bbb Z\otimes_\Bbb Z \Bbb Z$ donde $2\otimes 3=2\cdot3\otimes 1=0\otimes 1=0$.

Answer 3

Encontré esta pregunta mientras buscaba responder a una relacionada. Creo que vale la pena señalar que $0\otimes n = (0\cdot 0)\otimes n = 0\cdot(0\otimes n) = 0\otimes(0\cdot 0) = 0\otimes 0 = 0\in M\otimes_A N$ donde $M$ y $N$ son módulos izquierdos $A$ (o derechos--nunca puedo recordar cuál es cuál).

(También puedes notar que $0\cdot n = (1 + (-1))\cdot n = n - n = 0$.)

Answer 4

Para agregar a otras buenas respuestas y comentarios: quizás una versión ligeramente abstracta de la pregunta se pueda interpretar como preguntando sobre la exactitud del (de los) funtor(es) de producto tensorial $M\to M\otimes N$. Este no es un funtor exacto (en muchas categorías interesantes), y su falta de exactitud se mide mediante grupos "Tor" (que también se pueden interpretar como funtores derivados, además de construcciones explícitas específicas en varias categorías). En particular, como mínimo, ${\mathrm Tor}^i(M,N)$ muy a menudo no es cero incluso para $i=1$.

En otras palabras: es un problema no trivial, sin una solución general simple y formulable, encontrar el colapso/las relaciones en productos tensoriales. Y existen muchos ejemplos conocidos con algún colapso al principio posiblemente sorprendente, como se mencionó anteriormente, como $\mathbb Z/m\otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z/n\approx \mathbb Z/\gcd(m,n)$.