Tengo una pregunta, para ayudar a mi comprensión, sobre la demostración de que la diferenciabilidad implica continuidad.$\mathstrut$
Definición de Diferenciabilidad
Cuando decimos que una función es diferenciable en $x_0$, nos referimos a que el límite:
$$f^{\prime} (x) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$$ existe.
Definición de Continuidad
Cuando decimos que una función es continua en $x_0$, nos referimos a que: $$\lim_{x\to x_0} f(x) - f(x_0) = 0$$
Teorema: Diferenciabilidad implica Continuidad: Si $f$ es una función diferenciable en $x_0$, entonces es continua en $x_0$.
Prueba:
Supongamos que $f$ es diferenciable en $x_0$. Entonces $$ \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = f^{\prime} (x) $$
y por lo tanto
$$ \lim_{x\to x_0} f(x) - f(x_0) = \lim_{x\to x_0} \left[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \right] \cdot \lim_{x\to x_0} (x-x_0) = 0$$
Por lo tanto, hemos demostrado que, usando la definición de continuidad, si la función es diferenciable en $x_0$, también debe ser continua.
Mi Pregunta
La demostración parece ejecutar los siguientes pasos:
- Suponer que la función es continua en $x_0$
- Mostrar que, con un poco de álgebra, podemos convertir esto en una pregunta equivalente sobre la diferenciabilidad en $x_0$. Con este pequeño álgebra, podemos mostrar que si una función es diferenciable en $x_0$ también es continua.
Lo que me genera cierta duda es la aparente circularidad. En mi opinión parece decir, si una función es continua, podemos mostrar que si también es diferenciable, entonces es continua. En lugar de lo que esperaba, es decir, si una función es diferenciable, podemos mostrar que debe ser continua.
Espero que mi confusión sea clara. Cualquier ayuda será muy apreciada.
