Partícula cargada relativista en un campo eléctrico uniforme constante

Question

Estoy haciendo algunos ejercicios de relatividad especial. Debo encontrar $x(t)$ y $v(t)$ de una partícula cargada que se deja en reposo en $t=0$ en un campo eléctrico externo uniforme constante $\vec{E}=E_{0} \hat{i}$, luego con esa velocidad debo encontrar la potencia radiada de Liénard-Wiechert.

Te mostraré lo que hice pero siento que está mal.

Debemos resolver la ecuación de movimiento dada por

$$ \tag{1}\frac{dp^{\mu}}{d\tau} = \frac{q}{c} F^{\mu \nu}u_{\nu} $$

La cuadri-velocidad es

$$ u^{\mu} = (u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}) = \gamma (c,v^{1},v^{2},v^{3}) $$

donde $v^{\alpha}$ son las componentes de la velocidad tridimensional. El cuadri-momento es

$$ p^{\mu} = mu^{\mu} $$

Esto nos dará cuatro ecuaciones donde dos de ellas darán velocidades constantes y las otras dos son

$$ \tag{2}\frac{d\gamma}{d\tau} = -\frac{qE_{0}}{mc^{2}}\gamma v_{1} $$

$$ \tag{3}\frac{d\gamma}{d\tau} v_{1} + \gamma \frac{dv_{1}}{d\tau} = \frac{qE_{0}}{m} \gamma $$

Reemplazando $(2)$ en $(3)$ da

$$ \tag{4}\frac{dv_{1}}{d\tau} = -\frac{qE_{0}}{mc^{2}} (v_{1})^{2} + \frac{qE_{0}}{m} $$

La solución de la ODE $(4)$ da algo como

$$ \tag{5}v_{1}(\tau) = A\tanh{(B\tau)} $$

Esta componente de la velocidad tridimensional está en función del tiempo propio $\tau$ y el problema me pide encontrar la velocidad en función del tiempo $t$. Así que mi intento fue resolver

$$ \tag{6}\frac{dt}{d\tau} = \gamma (\tau) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(v_{1}(\tau))^{2}}{c^{2}}}} $$

y luego reemplazar esta solución para $\tau$ en $(5)$. Pero la solución de $(6)$ es esta). Lo cual no tiene sentido para mí.

Pienso que estoy entendiendo algo mal o faltando algo que me dará una solución más fácil a este problema. Pensé esto porque en la potencia radiada de Liénard-Wiechert debo hacer $dv_{1}/dt$, lo cual es casi imposible hacerlo sin WolframAlpha.

Answer 1

Necesitas igualar las condiciones iniciales,

\begin{align*} a_{0} &= \frac{qE_{0}}{m} \\ v &= c\tanh \frac{a_{0} \tau}{c} \\ \gamma &= \cosh \frac{a_{0} \tau}{c} \\ &= \frac{dt}{d\tau} \\ t &= \int_{0}^{\tau} \cosh \frac{a_{0} \tau}{c} \, d\tau \\ &= \frac{c}{a_{0}} \sinh \frac{a_{0} \tau}{c} \\ \frac{a_{0} t}{c} &= \sinh \frac{a_{0} \tau}{c} \\ v &= \frac{a_{0} t}{\sqrt{1+\left( \dfrac{a_{0}t}{c} \right)^{2}}} \\ \end{align*}