Monoid como una categoría de objeto único

Question

Estoy luchando por comprender qué son los monoides en términos de teoría de categorías.

En ejemplos, ven los números enteros como un monoide. Creo que entiendo la definición teórica de conjunto. Tenemos un conjunto y un operador binario asociativo (suma) y el elemento neutro (cero).

Luego dicen algo así - ver el conjunto entero como un único objeto y el operador binario como un montón de morfismos para cada elemento del conjunto.

Como add0 es un morfismo identidad. Lo que realmente nos daría el mismo objeto, es decir, el mismo conjunto de todos los números enteros. Creo que entiendo esto.

Pero veamos el morfismo add1. Después de aplicarlo a nuestro único objeto (el conjunto de todos los enteros) tendríamos un conjunto {1,2,3...} no el {0,1,2,3...}. ¿No son diferentes el dominio y el codominio en ese caso?

Eso es lo que me preocupa. ¿Alguien puede explicármelo?

Aquí está el texto que me está causando problemas.

El texto

Answer 1

No, así no es la forma de verlo. Para ver un monoide como una categoría, tienes un único objeto $\mathsf{Andreas}$, y cada elemento del monoide es un morfismo $\mathsf{Andreas}\to\mathsf{Andreas}$ en la categoría. La operación del monoide es la composición en la categoría.

Entonces, para los enteros, no tienes un morfismo "sumar 1", sino un morfismo que simplemente se llama $1$. Y la composición en la categoría funciona de tal manera que $1$ compuesto con $1$ es el morfismo llamado $2$.

Este es un ejemplo de una categoría donde los morfismos no son funciones.

Answer 2

Ya sabes que un monoide $M$ es un conjunto con un elemento neutro $e$ y una operación binaria. Más precisamente, si $a, b, c\in M$ entonces $$a\circ b\in M$$ $$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$ $$e\circ a=a\circ e=a$$

Ahora, tomemos cualquier categoría $C$ con un objeto, $c$. Dado que $C$ es una categoría, necesitamos decir cuáles son las flechas. Es decir, cuáles son los morfismos $c\rightarrow c$. Debe haber un elemento unitario $1_{c}:c\rightarrow c$, las flechas deben poder componerse y la composición debe ser asociativa. Más precisamente, si $f, g$ y $h$ son flechas, entonces $$f\circ g\in Morph(C)$$ $$(f\circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$$ $$1_{c}\circ f=f\circ 1_{c}=f$$Nota que aquí $\textit{no}$ estamos hablando de conjuntos. Solo de objetos y flechas, en abstracto.

Pero ahora si observamos que las operaciones en $M$ son $\textit{exactamente}$ las mismas que las operaciones en $Morph(C)$, podemos considerar la categoría $C$ como el monoide $M$. Esta correspondencia es reversible: dada la categoría $C=\left \{ c \right \}$ obtenemos un monoide $M$ cuyos elementos son las flechas de $C$.

Por lo tanto, las dos descripciones son equivalentes.

Todo esto funciona porque las operaciones binarias son las mismas para ambas estructuras.

Answer 3

Además de la respuesta concisa y clara de Henning Makholm, es posible que encuentres útiles las primeras seis páginas de mis Notas sobre Teoría de Categorías. También dan el ejemplo de un monoide como una categoría, pero también brindan otros ejemplos de categorías donde las flechas no son funciones en ningún sentido ordinario. Otro ejemplo importante es el caso de los conjuntos parcialmente ordenados tratados como una categoría.

De hecho, estos ejemplos sugieren por qué bien podríamos preferir hablar de 'flechas' en lugar de 'morfismos' (porque el término 'morfismo' viene con connotaciones, y casi inevitablemente nos hace pensar en una función - pero repito, las flechas no necesariamente son funciones).