Definición alternativa de la Pérdida Esperada

Question

Definir:

$$q_\alpha(F_L)=F^{\leftarrow}(\alpha)=\inf\lbrace{x\in \mathbb{R}\mid F_L(x)\geq \alpha\rbrace}=VaR_\alpha(L)$$

Quiero demostrar que:

$$ES_\alpha = \frac{1}{1-\alpha}\mathbb{E}[\mathbb{1}_{\lbrace{ L\geq q_\alpha(L)\rbrace}}\cdot L] \overset{!!!}{=}\mathbb{E}[L\mid L\geq q_\alpha(L)] $$

Me atasqué en:

$$\mathbb{E}[\mathbb{1}_{\lbrace{ L\geq q_\alpha(L)\rbrace}}\cdot L]= \mathbb{E}[\mathbb{E}[\mathbb{1}_{\lbrace{ L\geq q_\alpha(F_L)\rbrace}}\cdot L\mid L\geq q_\alpha(F_L)]\ ] = \mathbb{E}[\mathbb{1}_{\lbrace{ L\geq q_\alpha(F_L)\rbrace}}\cdot\mathbb{E}[L\mid L\geq q_\alpha(F_L)]\ ]$$

Ahora me gustaría utilizar que $\Pr(L\geq q_\alpha(F_L) \ )=1-\alpha$, pero no sé cómo proceder.

Answer 1

¿Sabías que

$$\mathbb{E}[X|A] = \frac{\mathbb{E}[X1_A]}{P(A)}?$$

Algunos lo toman como la definición de la expectativa condicional dada un evento. Con $X=L$ y $A=(L\geq q_\alpha(L))$, obtienes tu respuesta.