Homeomorfismo entre $D^n$ y $[0,1]^n$

Question

Sé que $D^n=\{x\in \mathbb{R}^n:\|x\|\leq 1\}$ es homeomorfo a $[0,1]^n$, pero ¿cómo escribir el homeomorfismo? ¿Cómo encontrar una fórmula explícita? Gracias de antemano.

Answer 1

Deje que $\| v \|_{p}$ denote la $p$-norma de $v \in \Bbb{R}^{n}$. En particular,

$$\| v \|_{2} = [ v_{1}^{2} + \cdots + v_{n}^{2} ]^{1/2} \quad \text{y} \quad \| v \|_{\infty} = \max \{ |v_{1}|, \cdots, |v_{n}| \}.$$

Entonces, el siguiente mapa

$$F : D^{n} \to [-1, 1]^{n} : v \mapsto \frac{\|v\|_{2}}{\|v\|_{\infty}} v$$

da el homeomorfismo con el inverso

$$G : [-1, 1]^{n} \to D^{n} : w \mapsto \frac{\|w\|_{\infty}}{\|w\|_{2}} w.$$

(Por supuesto, establecemos $F(0) = 0 = G(0)$.)

La idea es simple:

$$D^{n} = \{ \| v \|_{2} \leq 1 \} \quad \text{y} \quad [-1, 1]^{n} = \{ \| v\|_{\infty} \leq 1 \}.$$

Entonces, el mapa $F$ redimensiona el vector para que $\| F(v) \|_{\infty} = \| v \|_{2}$. Comprobar que tanto $F$ como $G$ son realmente continuos no es teóricamente difícil, aunque puede ser un poco engorroso.

El siguiente gráfico puede ayudarte a entender lo que está sucediendo en $n = 3$. La esfera (arriba) se mapea en el cubo (abajo) mediante el mapeo $F$. (Las costuras entre las caras del cubo son artefactos del software.)

Answer 2

Primero coloca $I^n$ en el centro de tu sistema de coordenadas usando la traslación $T$. Luego define $F:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n$ de la siguiente manera: $F(x)=x/\|\partial T(I^n)\cap l(x)\|$, donde $l(x)$ es una línea que pasa por $0$ y $x. Ahora, el morfismo que estás buscando es$F\circ T$.