Sé que $D^n=\{x\in \mathbb{R}^n:\|x\|\leq 1\}$ es homeomorfo a $[0,1]^n$, pero ¿cómo escribir el homeomorfismo? ¿Cómo encontrar una fórmula explícita? Gracias de antemano.
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Deje que $\| v \|_{p}$ denote la $p$-norma de $v \in \Bbb{R}^{n}$. En particular,
$$ \| v \|_{2} = [ v_{1}^{2} + \cdots + v_{n}^{2} ]^{1/2} \quad \text{y} \quad \| v \|_{\infty} = \max \{ |v_{1}|, \cdots, |v_{n}| \}. $$
Entonces, el siguiente mapa
$$ F : D^{n} \to [-1, 1]^{n} : v \mapsto \frac{\|v\|_{2}}{\|v\|_{\infty}} v $$
da el homeomorfismo con el inverso
$$ G : [-1, 1]^{n} \to D^{n} : w \mapsto \frac{\|w\|_{\infty}}{\|w\|_{2}} w. $$
(Por supuesto, establecemos $F(0) = 0 = G(0)$.)
La idea es simple:
$$ D^{n} = \{ \| v \|_{2} \leq 1 \} \quad \text{y} \quad [-1, 1]^{n} = \{ \| v\|_{\infty} \leq 1 \}. $$
Entonces, el mapa $F$ redimensiona el vector para que $\| F(v) \|_{\infty} = \| v \|_{2}$. Comprobar que tanto $F$ como $G$ son realmente continuos no es teóricamente difícil, aunque puede ser un poco engorroso.
El siguiente gráfico puede ayudarte a entender lo que está sucediendo en $n = 3$. La esfera (arriba) se mapea en el cubo (abajo) mediante el mapeo $F$. (Las costuras entre las caras del cubo son artefactos del software.)
user52045
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Primero coloca $I^n$ en el centro de tu sistema de coordenadas usando la traslación $T$. Luego define $F:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n$ de la siguiente manera: $F(x)=x/\|\partial T(I^n)\cap l(x)\|$, donde $l(x)$ es una línea que pasa por $0$ y $x. Ahora, el morfismo que estás buscando es $F\circ T$.
