Enumerando todas las posibles formas escalonadas de una matriz $3\times 3$.

Question

Mi enfoque.

Sea $a$ un entrada principal y $b$ cualquier valor.

Las posibles formas escalonadas de una matriz $3\times 3$ son:

$$\begin{bmatrix} a & b & b \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & b & b \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & b & b \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.$$

Si estos son correctos, ¿podemos básicamente agregar cualquier matriz del tamaño apropiado a la derecha de estas matrices y seguirán estando en forma escalonada, ¿verdad? Incluso si suponemos que para la quinta matriz la agregamos con algo que hará que el sistema sea inconsistente, es decir,

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 0\end{bmatrix}$$

sigue estando en forma escalonada. ¿O estoy equivocado en algún lugar?

Answer 1

Aquí están las referencias de $3 \times 3:$

de rango $3:$ $\quad \pmatrix{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$

de rango $2: \quad\pmatrix{1&0&x\\0&1&x\\0&0&0} , \pmatrix{1&x&0\\0&0&1\\0&0&0}, \pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}$

de rango $1: \quad\pmatrix{1&x&x\\0&0&0\\0&0&0}, \pmatrix{0&1&x\\0&0&0\\0&0&0}, \pmatrix{0&0&1\\0&0&0\\0&0&0}$

de rango $0: \quad \pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}$

donde $x$ representa un número arbitrario. espero que esto esté completo.