Aclaración: Prueba de la regla del cociente para secuencias

Question

Mi problema Actualmente estoy buscando una prueba para la regla del cociente para secuencias:

$a_n$ y $b_n$ son dos secuencias con los límites a,b. Entonces:

Cuando

$ a_n \rightarrow a$ y $ b_n \rightarrow b$

Entonces:

$\frac {a_n}{b_n} \rightarrow \frac{a}{b}$

Cosa increíble, pero ¿cómo lo pruebo?

Intentos de solución

Encontré una prueba en mi libro de texto, pero tengo dificultades para entenderla. Sigue así.

Para probar la regla del cociente, tenemos que reconocer: $b \ne 0$. Entonces

$b_n \rightarrow b > 0 $

Así, para cada $\epsilon : \frac{|b|}{2}$, hay un $n_0$, tal que $|b_n|>|b|-\epsilon= \frac{|b|}{2}$ para cada $n>n_0$. Para esos n's (Esta es la parte que no entiendo) Puedes decir:

$$| \frac {1}{b_n}-\frac {1}{b}|=|\frac{b-b_n}{b_nb}| \le \frac {2}{|b|^2}|b-b_n|$$

Debido a la regla del factor (que es equivalente a la regla del cociente, pero para factores), el lado derecho de la desigualdad tiende hacia 0. Debido a la regla 22.3, puedes concluir que $\frac{1}{b_n} \rightarrow \frac{1}{b}$, y si aplicas la regla del producto nuevamente, también que $\frac{a_n}{b_n} \rightarrow \frac {a}{b}$.

Regla 22.3:

$\alpha_n $es una secuencia nula. Si la desigualdad $|a_n- a|\le \alpha_n$ es válida a partir de cierto punto con un número limitado de excepciones, entonces $\alpha_n \rightarrow n$

Entiendo el comienzo de la prueba, pero no cómo llegamos al lado derecho de la desigualdad. Y quiero decir que entiendo por qué esta cosa a la derecha es una secuencia nula. Pero ¿cómo esto prueba nuestro punto?

Si alguien pudiera aclarar o señalarme otra prueba de esta regla, que quizás sea más fácil de entender, estaría muy agradecido.

Answer 1

Si, para cualquier $\epsilon > 0 \in \mathbb{R}$, existe un $n \in \mathbb{Z}$ tal que $\forall i > n, |a_i - c| < \epsilon $, entonces $c$ se define como el límite de la secuencia de $a_i$.

Suponiendo que el límite de la secuencia $a_i$ es $a > 0$ y el límite de $b_i$ es $b > 0$, queremos probar que el límite de $\dfrac{a_i}{b_i} = \dfrac{a}{b}$.

Si aplicamos las definiciones de límite a $a_i$ y $b_i$ en $\delta < \frac{b}{2}$, ¿qué tan diferente puede ser $\dfrac{a_i}{b_i}$ de $\dfrac{a}{b}$?

Aplicamos la definición de límite y obtenemos un $n_a$ tal que $\forall i \ge n_a, |a_i - a| < \delta$ y obtenemos un $n_b$ tal que $\forall i \ge n_b, |b_i - b| < \delta$. Sea $n' = \max(n_a, n_b)$. Sabemos que para todo $i > n'$, tanto $|a_i - a| < \delta$ como $|b_i - b| < \delta$. También podemos expresar esto como $a - \delta \le a_i \le a + \delta$ y $b - \delta \le b_i \le b + \delta.

Entonces $\dfrac{a - \delta}{b + \delta} \le \dfrac{a_i}{b_i} \le \dfrac{a+\delta}{b-\delta}$. ¿Qué tan lejos se desvían estos límites mínimo y máximo de $\dfrac{a}{b}$?

$$\begin{align} \frac{a}{b} - \frac{a-\delta}{b+\delta} & = \frac{a(b+\delta) - (a-\delta)b}{b(b+\delta)}\\ & = \frac{ab + a\delta - ab + \delta b}{b(b+\delta)} \\ & = \frac{(a+b)\delta}{b(b+\delta)}\\ & < \frac{a+b}{b^2}\delta \end{align}$$

$$\begin{align} \frac{a + \delta}{b - \delta} - \frac{a}{b} & = \frac{(a + \delta)b - a(b - \delta)}{b(b - \delta)}\\ & = \frac{ab + \delta b - ab + a\delta}{b(b - \delta)}\\ & = \frac{a + b}{b(b - \delta)}\delta\\ & < \frac{a + b}{b\frac{b}{2}}\delta && \text{recordemos que $\delta < \frac{b}{2}$}\\ \frac{a + \delta}{b - \delta} - \frac{a}{b} & < \frac{a + b}{b^2}2\delta \end{align} $$

Así que ahora podemos demostrar el límite de $\dfrac{a_i}{b_i}$. Cuando se nos da un $\epsilon > 0$, podemos usar los límites de $a_i$ y $b_i$ para el conveniente $\delta = \min(\frac{b}{2}, \frac{b^2}{2(a+b)}\epsilon)$ para obtener $n_a$ y $n_b. Luego determinamos $n' = \max(n_a,n_b)$. Luego (omitimos el caso trivial $\frac{b}{2} < \frac{b^2}{2(a+b)}\epsilon $) sabemos que para todo $i > n'$,

$$\begin{align} |\frac{a_i}{b_i} - \frac{a}{b}| & \le \frac{2(a+b)}{b^2}\delta \\ & \le \frac{2(a+b)}{b^2}\frac{b^2}{2(a+b)}\epsilon \\ & \le \epsilon \end{align}$$

Y así cumplimos con la definición del límite.