Suponga que hay un producto interno en el espacio lineal $V = \{ \text{polinomios}\}$: $$\langle f, g\rangle = \int_{-1}^1 w(t) f(t)g(t) dt$$ con $w(t) \ge 0$ y no idénticamente cero.
Luego podemos construir los Polinomios de Legendre generales con coeficiente de mayor grado = 1 $$p_0(x) = 1$$ $$p_i(x) = x^i - \sum_{j=0}^{i-1}\frac{\langle x^i, p_j\rangle}{\langle p_j, p_j\rangle} p_j$$
Estos son una base ortogonal para $V$.
Solo con estas condiciones, ¿cómo se puede demostrar que existen $a_i$ and $b_i$ tal que $$x p_{i-1}(x) = p_i(x) + a_i p_{i-1}(x) + b_i p_{i-2}(x)$$ similar a la relación de recurrencia de los Polinomios de Legendre.
Sé que para los Polinomios de Legendre, usamos una función generadora para demostrar estas relaciones. ¿Cómo se puede demostrar esto para un peso genérico?
Mi intento: $$p_i(x) = x^i - \sum_{j=0}^{i-1}c^i_j p_j$$ con $c^i_j = \frac{\langle x^i, p_j\rangle}{\langle p_j, p_j\rangle}$
$$x p_{i-1}(x) = x^i - \sum_{j=0}^{i-2}c^{i-1}_j x p_j$$
$$ x p_{i-1} - p_i = \sum_{j=0}^{i-1}c^i_j p_j - \sum_{j=0}^{i-2}c^{i-1}_j (p_{j+1} + a_{j+1}p_j + b_{j+1} p_{j-1})$$
De los coeficientes de $p_{i-1}$ y $p_{i-2}$, podemos obtener la fórmula de $a_i$ y $b_i$. Sin embargo, no puedo mostrar que los coeficientes de $p_j$ con $j < i - 2$ se cancelarán entre sí.
