Considere $m$ como impar y primo. Y $A = \{0, 1, 2, ..., 2m-1\}$ es el conjunto de todos los residuos módulo $2m$.

Question

Consider el $m$ ser impar y primo. Y $A = \{0, 1, 2, ..., 2m-1\}$ es el conjunto de todos los residuos módulo $2m$. ¿Cuántos elementos $x$ en $A$ satisfacen $x^2 \equiv 1 \mod{2m}$?

Answer 1

Las soluciones para $x^2\equiv 1\pmod p$ son $x\equiv \pm1\pmod p$, la única solución para $x^2\equiv 1\pmod 2$ es $x\equiv 1\pmod 2$. Por el Teorema Chino del Resto, concluimos que las soluciones módulo $2p$ y tomadas de $\{0,\ldots, 2p-1\}$ son $1$ y $2p-1$. Ahora debemos contar los miembros de estas clases de residuos en $\{0,\ldots,2m-1\}$.

Si $m$ es un múltiplo de $p$, digamos $m=kp$, obviamente encontramos $2k$ números, es decir $2jp+1$ para $0\le j y $2jp-1$ para $1\le j\le k$.

De lo contrario, si $m=kp+r$, $0, tenemos $2jp+1$ para $0\le j\le k$ y $2jp-1$ para $1\le j\le k$, así que un total de $2k+1$ tales números.

La respuesta general es entonces $$ \left\lceil \frac mp\right\rceil+\left\lfloor \frac mp\right\rfloor. $$

Answer 2

Pista $ $ Aplica lo siguiente con $\ p=m,\ q = 2\ $ y $\ b,c = x\pm1 $

Lema $ $ Si $\,p\nmid q\,$ son primos y $\,\color{#c00}{q\mid b\!-\!c}\,$ entonces $\ pq\mid bc\iff pq\mid b\,$ o $\,pq\mid c$

Prueba $\,\ pq\mid bc\iff pq\mid b\,$ o $\,pq\mid c\,$ o $\,\smash[b]{\underbrace{p\mid b,\,\color{#c00}{q\mid c}}}\,$ o $\,p\mid c,\,q\mid b\ $ por factorización única.

Por hipótesis $\,\color{#c00}{q\mid b\!\iff\! q\mid c},\,$ entonces $\,{p\mid b,\, \color{#c00}{q\mid c}}\iff p\mid b,\color{#c00}{q\mid b}\iff pq\mid b$

De manera similar, el caso final es equivalente a $\,pq\mid c$