Demostrando que una expansión decimal es biyectiva

Question

Estoy tratando de ver si una función $f : (0, 1] × (0, 1] (0, 1]$ es biyectiva, donde $0.a_1a_2a_3 . . . $ es la expansión decimal de $x (0, 1]$, y $0.b_1b_2b_3 . . .$ es la expansión decimal de $y (0, 1]$, donde la expansión decimal de $f(x, y) (0, 1]$ es $0.a_1b_1a_2b_2, . . .$

Sé que es inyectiva porque si dos números, digamos $a$ y $c$, son diferentes, entonces tenemos $=ac0$. Como $0$, debe tener un dígito más significativo. a y c deben diferir en ese dígito, o en el dígito anterior, ¿pero cómo puedo probar que es sobreyectiva?

Para mayor claridad: solo se utiliza la expansión decimal no terminante en la definición de la función de entrelazado.

Answer 1

No es sobreyectiva debido a los números que tienen dos representaciones. Necesitas especificar qué representación utilizas en la izquierda. Una opción natural es utilizar la forma terminada para todos los números que pueden terminar, así que utiliza $0.5000\ldots$ en lugar de $0.499999\ldots$. Ningún par de números en la izquierda dará un número de la forma $0.a_1b_1a_29a_39a_49\ldots$ en la derecha.

Agregado: basado en la actualización de que se debe usar la versión no terminada para todos los decimales que tienen dos representaciones, no podemos obtener un número en la derecha de la forma $0.a_15a_20a_30a_40a_40\ldots$ porque eso requeriría que $y=0.50000\ldots$