¿Cómo diferenciar si el problema habla sobre los eventos A y B, o sobre A dado que ocurrió B?

Question

Soy nuevo en probabilidad, y me resulta muy difícil entender la probabilidad de los eventos A y B, y A dado que ocurrió B. Estaba resolviendo un problema y lo hice completamente mal porque pensé que se trataba de tomar A y B, pero en realidad es A dado B. Aquí está la parte del problema

Supongamos que el 65 por ciento de los usuarios de Mac han sucumbido a un virus informático, el 82 por ciento de los usuarios de Windows contraen el virus, y el 50 por ciento de los usuarios de Linux se contagian del virus.

Pensé que se estaba hablando de un 65% de posibilidad de que el usuario fuera un usuario de Mac y estuviera infectado por un virus, pero en realidad era un 65% de posibilidad de que estuviera infectado por un virus dado que era un usuario de Mac.

Sé la fórmula P(A|B)=P(A y B)/P(B), pero encuentro que las dos declaraciones anteriores son completamente iguales. Que sea un usuario de Mac y esté infectado por un virus, y que esté infectado por un virus dado que es un usuario de Mac.

¿Puedes explicar la diferencia, por favor? ¿Y cómo puedo saber si se está hablando de A y B, o de A|B?

Gracias por leer la pregunta.

Answer 1

En general, las partes clave de la oración son el valor de nuestra probabilidad (65%), la población a la que se refiere ("de usuarios" vs "de usuarios de Mac"), y las condiciones que cumplen ("son usuarios de Mac que contrajeron el virus" vs "contrajeron el virus"). Las condiciones van en la primera parte de la probabilidad, las poblaciones van después del símbolo de la barra (o se ignoran si es "todos").

La oración "65% de los usuarios de Mac contraen el virus" es una probabilidad condicional - $\mathbb P (A | B) = \frac {65} {100}$ - está diciendo que si solo miramos a las personas que son usuarios de Mac, el 65% tendrá el virus.

La oración "65% de los usuarios de computadoras son usuarios de Mac que contrajeron el virus" indica la probabilidad de que alguien pertenezca a dos grupos a la vez (ser usuario de Mac y contraer el virus) - $\mathbb P (A \cap B) = \frac {65}{100}.$

En general, las matemáticas no les gusta perder palabras. Si ves algo escrito de manera complicada para lo que crees que quieren decir, tómate un segundo para pensar en qué más podrían estar intentando expresar. Por lo general (aunque no siempre), el lector ha pasado por alto una definición o ha entendido mal una sutileza.