Ejemplo de una función cuyos derivados direccionales son siempre positivos

Question

Necesito un ejemplo de una función $f: \Bbb R^n \rightarrow \Bbb R$ tal que su derivada direccional en la dirección del vector $y$ sea tal que $\mathbf{D_y}(a)>0$ para un vector $y$ fijo y para todo $a$ en $\Bbb R^n

Tengo dudas con este ya que acabo de probar que no existe una función $f: \Bbb R^n \rightarrow \Bbb R$ tal que $\mathbf{D_y}(a)>0$ para cada $y$ en un punto fijo $a$ en $\Bbb R^n$ utilizando la propiedad que establece que $\mathbf{D_y}(a)=y \nabla f(a)$.

Answer 1

Dado que $y=(y_1,\ldots,y_n)$ está fijo, si tienes $\nabla f(a)=(y_1,\ldots,y_n)$ entonces tendrás $y\cdot \nabla f(a)=y_1^2+\cdots+y_n^2>0$ (por supuesto, si $y\ne 0$).

Esto se puede lograr fácilmente tomando $f(x_1,\ldots,x_n)=y_1x_1+\cdots+y_nx_n$. En una notación más corta, puedes definir $f(x)=y\cdot x$.

Answer 2

Mi comprensión de tu pregunta es la siguiente:

Para cada $y \in \mathbb{R}^n$ encontrar una función $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ tal que la derivada direccional $\partial_yf = \mathbf{D}_yf$ sea positiva.

Por favor ten en cuenta que para $\|y\|=0$ la derivada direccional siempre es $0$, así que excluyo ese caso.

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Sugiero el siguiente enfoque:

Para un $y \in \mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace$ arbitrario, sea $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$ f(x) = \sum_{i=1}^n y_i x_i $$

Luego, tenemos para $i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace$ y $a \in \mathbb{R}^n$ $$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = y_i $$

lo que significa que $\nabla f(a) = y$.

Esto muestra inmediatamente que la derivada direccional de $f$ en la dirección de $y$ es positiva:

$$ \mathbf{D_y}f(a) = y \cdot \nabla f(a) = y \cdot y = \|y\|^2 > 0 $$