ELI5: Riemann-integrable vs Lebesgue-integrable

Question

¿Cuál es la diferencia entre Riemann-integrable y Lebesgue-integrable? ¿Tiene algo que ver con el valor absoluto del integrando; algo así como

$\text{Lebesgue-integrable} \Leftrightarrow \int |f(x)| < \infty$?

Answer 1

La principal diferencia entre la integrabilidad en el sentido de Lebesgue y Riemann es la forma en que medimos 'el área bajo la curva'.

La integral de Riemann pregunta cuál es la 'altura' de $f$ sobre una parte dada del dominio de la función. Por otro lado, la integral de Lebesgue pregunta, para una parte dada del rango de $f$, cuál es la medida de los $x$ que contribuyen a esta 'altura'.

Lo siguiente se tomó de la página de Wikipedia para la integración de Lebesgue, y es muy instructivo (Riemann en azul arriba, Lebesgue en rojo abajo):

(Tomado de https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration#/media/File:RandLintegrals.png, CC BY-SA 3.0)

Otra forma de explicar esto es la siguiente:

Tengo que pagar una cierta suma, la cual he recogido en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas de mi bolsillo y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta haber alcanzado la suma total. Esto es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de manera diferente. Después de haber sacado todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas de acuerdo con los valores idénticos y luego pago las distintas pilas una tras otra al acreedor. Esto es mi integral.

Esto es debido a Reinhard Siegmund-Schultze, (2008), "Henri Lebesgue", en Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader, Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press.

Como resultado de las diferentes definiciones, diferentes clases de funciones son integrables:

Por definición, $f$ es Lebesgue-integrable si y solo si $|f|$ es Lebesgue-integrable.

Y, de hecho, como señaló basket, podemos integrar muchas funciones en el sentido de Lebesgue que no se pueden integrar en el sentido de Riemann (por ejemplo, la llamada función de Dirichlet que es $1$ en los números racionales y $0$ en los irracionales). Incluso tenemos el agradable resultado de que si $f$ es acotada y está definida en un conjunto compacto y es integrable en Riemann, entonces es integrable en Lebesgue.

Por otro lado, si el dominio no está acotado, entonces $f$ podría ser integrable en el sentido impropio de Riemann, pero no ser integrable en el sentido de Lebesgue (por ejemplo, $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ en $[1,\infty)$ - para esta función, ni siquiera $|f|$ es integrable en el sentido impropio de Riemann).

Answer 2

No se puede realmente simplificar las cosas al nivel que aparentemente desea. Simplemente la teoría es algo complicada y no hay una respuesta corta y simple a su pregunta.

Dado que presumiblemente ya conoce las definiciones, permítame comentar sobre dos aspectos, que son básicamente los más importantes, por supuesto en MI opinión:

1) El comentario no trivial más simple es que la integración de Riemann mira el dominio de la función, mientras que la integración de Lebesgue mira el codominio, ciertamente a expensas de necesitar algo más que solo intervalos.

2) Por otro lado, es razonable argumentar que la propiedad más importante de la integración de Lebesgue es que se puede construir un espacio completo utilizando funciones Lebesgue-integrables (clases de equivalencia).