Una observación sobre $x^n$ cuando $n$ es una potencia entera positiva de $5$.

Question

¿Existen otros $n$ diferentes de las potencias integrales positivas de $5$, tales que el último dígito de $x^n$ sea igual al último dígito de $x$ para todos los enteros positivos $x$?

Answer 1

En base 10, para que $x^n$ tenga el mismo dígito final que $x$ (lo que asumo que quisiste escribir), reunimos los requisitos para $n$ al examinar cada posible dígito final.

0 y 1 no imponen requisitos en $n$. (Es decir, si $x$ termina en 0 o 1, entonces $x^n$ también terminará en 0 o 1, independientemente de $n$)

2 agrega el requisito de que $n$ sea uno más que un múltiplo de $4$. (ya que si $x$ termina en 2, entonces $x^n$ termina en 2, 4, 8, 6, 2, ...)

3 agrega el mismo requisito (que $n$ sea uno más que un múltiplo de $4$).

4 agrega el requisito de que $n$ sea impar.

5 y 6 no imponen requisitos en $n$.

7 requiere que $n$ sea uno más que un múltiplo de $4`. Lo mismo aplica a 8.

9 requiere que $n$ sea impar.

De hecho, cualquier $n$ que sea uno más que un múltiplo de 4 debería funcionar, y de hecho:

1^13 =             1
2^13 =          8192
3^13 =       1594323
4^13 =      67108864
5^13 =    1220703125
6^13 =   13060694016
7^13 =   96889010407
8^13 =  549755813888
9^13 = 2541865828329

Answer 2

Cualquier exponente de la forma $n = 4k + 1$ funcionará: $n = 1, 5, 9, \ldots$. (En particular, todas las potencias enteras de 5 son de esta forma.)