Definiciones engañosas y problemas sin respuesta en el Cálculo de Spivak.

Question

Calculo de Spivak 4ta edición, Capítulo 3 Funciones, Página 47:

DEFINICIÓN: Una función es una colección de pares de números con la siguiente propiedad: si (a,b) y (a,c) están ambos en la colección, entonces b = c; en otras palabras, la colección no debe contener dos pares diferentes con el mismo primer elemento.

El continúa:

Esta es nuestra primera definición completa, y ilustra el formato que siempre usaremos para definir nuevos conceptos significativos. Estas definiciones son tan importantes (al menos tan importantes como los teoremas) que es esencial saber cuándo una está realmente en juego, y distinguirlas de comentarios, observaciones motivadoras y explicaciones informales. Estarán precedidas por la palabra DEFINICIÓN, contendrán el término definido en letras negritas, y constituirán un párrafo en sí mismas.

Ok, entendido. Pasemos al conjunto de problemas, llegué al problema 25)

25) Encuentra una función f(x) tal que g(f(x)) = x para algún g(x), pero tal que no existe una función h(x) con f(h(x)) = x

Pregunté sobre esto en MSE (ver Spivak's Calculus Capítulo 3 Problema 25), y después de mucha discusión llegamos a la conclusión de que el problema 25 es imposible dada la definición anterior de una función.

En resumen, el problema radica en que para encontrar f(x), necesitas elegir f(x) como una función no sobreyectiva, lo cual requiere el concepto de codominio. Sin embargo, la definición anterior no incluye el concepto de codominio, solo dominio e imagen, por lo tanto es imposible.

Mi pregunta es: ¿En qué estaba pensando Spivak (y literalmente)? ¿Cómo pretendía Spivak que resolviéramos este problema? ¿Es un error de su parte? ¿O hay una forma de inferir intuitivamente a partir de la definición anterior que las funciones deben especificarse con un codominio (codominio, no imagen) para ser definidas?

Si tuviera el libro de soluciones de Cálculo 4ta Edición, esto ayudaría mucho a responder mi pregunta, pero no lo encuentro en ninguna parte de forma gratuita.

Answer 1

No necesitas el concepto de un codominio; solo necesitas la suposición mucho más básica de que todas las funciones en el problema tienen el mismo dominio. Y el dominio es implícito en la definición de una función como un conjunto de pares ordenados: simplemente es el conjunto de primeros componentes de los miembros de $f$. (Por cierto, la definición de una función como un conjunto de pares ordenados sigue siendo la más útil en algunos contextos).

Por ejemplo, deja que el dominio común sea $\Bbb N$, el conjunto de enteros no negativos, y deja que $f(n)=n+1$; es decir, $f=\{\langle n,n+1\rangle:n\in\Bbb N\}$. Deja que $g=\{\langle n,n-1\rangle:n\in\Bbb N\}$; claramente $g\big(f(n)\big)=n$ para todo $n\in\Bbb N$. Pero no hay una función $h$ con dominio $\Bbb N$ tal que $f\big(h(n)\big)=n$ para todo $n\in\Bbb N$, porque $0$ no está en el rango de $f$.

Sin acceso al libro solo puedo adivinar, pero no me sorprendería en absoluto si él tuviera tal suposición y tal ejemplo en mente.

Answer 2

Nunca habría entendido qué estaba mal con mi pensamiento sin las respuestas y explicaciones dadas por todos a continuación (en especial gracias a Paul Frost). Sin embargo, estoy respondiendo mi propia pregunta no porque mi respuesta sea más correcta/precisa/mejor de alguna manera que la de los demás, sino porque sé por qué originalmente pensé de la manera incorrecta que lo hice, y si has encontrado esta pregunta por casualidad, hay una posibilidad de que tu forma de pensar sea la misma que la mía fue. Si no, prueba con las otras respuestas.

Pregunta 25) Encuentra una función f(x) tal que g(f(x)) = x para algún g(x), pero tal que no existe una función h(x) con f(h(x)) = x

Cuando leo g(f(x)) = x, para mí eso significaba que si eliges un número específico x, de manera que g(f(x)) esté definido, entonces cuando calcules g(f(x)) obtendrás x de vuelta.

Asimismo, f(h(x)) = x significaba que si eliges un número específico x, de manera que f(h(x)) esté definido, entonces al calcularlo obtendrás x de vuelta.

Con esta forma de pensar, la pregunta es en verdad imposible. O es posible pero se necesitan suposiciones adicionales o el concepto de codominio necesita estar incorporado en la definición de una función, etc.

Sin embargo, esta forma de pensar es incorrecta. El truco es darse cuenta de que g(f(x)) no es un número, es una función. Eso significa que si g(f(x)) = x, x también es una función, no un número. Del mismo modo, x es una función en: f(h(x)) = x. Y aquí está la clave, ES LA MISMA FUNCIÓN. Podrías escribir g(f(x)) = f(h(x)) si quieres. Y 2 funciones solo pueden ser iguales si tienen el mismo dominio. Spivak no lo afirma explícitamente, pero puedes inferirlo de su definición de la siguiente manera:

¿Qué es una función? Recordemos la definición de Spivak: Una función es un Conjunto de Pares Ordenados. Entonces, ¿qué significa g(f(x)) = x? Significa que el Conjunto de Pares Ordenados "g(f(x))" es igual al Conjunto de Pares Ordenados "x". Y ¿cuándo son iguales 2 Conjuntos? Precisamente cuando cada elemento en el primer Conjunto también está en el segundo Conjunto, y viceversa. Por definición, el dominio es el Conjunto de cada primer elemento en cada Par Ordenado. Por lo tanto, si 2 funciones son iguales, deben tener el mismo primer elemento en cada Par Ordenado, por lo tanto sus dominios son iguales.

Ahora tomemos f(h(x)) = x. La misma lógica aplica. "f(h(x))" es un Conjunto de Pares Ordenados, y es igual al Conjunto de Pares Ordenados "x", lo que significa que cada elemento en "f(h(x))" debe estar en "x", y viceversa.

VICEVERSA Esas 2 palabras son las que hacen posible la Pregunta 25. Mi antigua forma ingenua de pensar equivalía a "cada elemento en "f(h(x))" debe estar en "x", pero NO viceversa.

Pregunta 25) Sea I(x) = x. Encuentra una función f(x) tal que g(f(x)) = I(x) para algún g(x), pero tal que no existe una función h(x) con f(h(x)) = I(x).

Esa es la pregunta real escrita en el libro. Salté la parte de I(x) porque pensé que era innecesaria, pero enfatiza el hecho de que g(f(x)) y f(h(x)) son iguales a la misma función identidad, y por lo tanto sus Conjuntos de Pares Ordenados son iguales, o equivalentemente sus dominios son iguales.

Mis disculpas Michael.

Answer 3

Spivak está pidiendo un solo ejemplo de una función $f$ tal que $g\circ f = I$ para algunos $g$, pero tal que no haya ninguna función $h$ con $f\circ h = I$.

Mira la función $f$ definida como

$f(x) = x$, para $x \geq 0\\$

$x - 1$, para $x < 0$

¿Puedes encontrar un $g$ tal que $g(f(x)) = x$?

¿Qué tal en la otra dirección? ¿Hay algún número $x$ para el cual $f(x) = -1/2$?