Trabajando sobre $\Bbb{F}_2$ es claro que $1\in\Bbb{F}_2$ es una raíz de $x^5+x^3+x+1\in\Bbb{F}_2[x]$, y encontramos que $$x^5+x^3+x+1\equiv(x+1)(x^4+x^3+1)\pmod{2}.$$ El factor cuártico claramente no tiene raíces en $\Bbb{F}_2$, y como el único cuadrático irreducible sobre $\Bbb{F}_2$ es $x^2+x+1$, basta verificar que $$x^4+x^3+1\neq(x^2+x+1)^2,$$ para concluir que $x^4+x^3+1$ es irreducible sobre $\Bbb{F}_2$. Sobre $\Bbb{Q}$, esto significa que $x^5+x^3+x+1$ tiene un factor irreducible de grado al menos $4$. Es decir, es o irreducible o tiene una raíz en $\Bbb{Q}$. La prueba de la raíz racional te dice que si tiene una raíz en $\Bbb{Q}$, entonces esa raíz debe ser $1$ o $-1$. Pero una verificación rápida muestra que estas no son raíces, por lo tanto, el polinomio original es irreducible sobre $\Bbb{Q}$.
La prueba del caso más general de $x^5+Ax^3+Ax+1$ se puede manejar de manera similar, aunque con un poco más de trabajo. Por supuesto, el argumento anterior se mantiene igual para cualquier $A$ impar. Pero para $A$ par, no.
Si intentamos el mismo argumento sobre $\Bbb{F}_3$ obtenemos las siguientes factorizaciones en factores irreducibles: $$x^5+Ax^3+Ax+1\equiv\begin{cases} (x+1)(x^4+2x^3+x^2+2x+1)&\text{ si } A\equiv0\pmod{3}\\ x^5+x^3+x+1&\text{ si } A\equiv1\pmod{3}\\ (x+2)(x^4+x^3+2)&\text{ si } A\equiv2\pmod{3} \end{cases}$$ Así que para $A\equiv1\pmod{3}$ inmediatamente obtenemos que $x^5+Ax^3+Ax+1$ es irreducible sobre $\Bbb{Q}$. Para $A\equiv0,2\pmod{3}$ vemos, como antes, que $x^5+Ax^3+Ax+1$ tiene un factor irreducible de grado al menos $4$. Si tiene un factor irreducible de grado exactamente $4$ entonces también debe tener un factor lineal, y por lo tanto una raíz racional. Según el test de la raíz racional esta raíz debe ser o bien $1$ o $-1$, lo cual nos dice que o bien $$1^5+A\cdot1^3+A\cdot1+1=0\qquad\text{ o }\qquad (-1)^5+A\cdot(-1)^3+A\cdot(-1)+1=0,$$ es decir, $A=-1$ o $A=0$. De hecho para estos dos valores de $A$ el polinomio $x^5+Ax^3+Ax+1$ es claramente reducible sobre $\Bbb{Q}$, y luego para todos los otros valores de $A$ es irreducible.
En cuanto al polinomio séptico $x^7+Ax^5+Bx^3+Ax+1$ con $A,B\in\Bbb{Z}$, no es irreducible para todos los $A,B\in\Bbb{Z}$. Por ejemplo, según el teorema de la raíz racional tiene un factor lineal si y solo si $1$ o $-1$ es una raíz, o equivalentemente, si y solo si $$1^7+A\cdot1^5+B\cdot1^3+A\cdot1+1=0\qquad\text{ o }\qquad (-1)^7+A\cdot(-1)^5+B\cdot(-1)^3+A\cdot(-1)+1=0,$$ lo cual es a su vez equivalente a $2A+B=0$ o $2A+B=-2$. También hay valores de $A$ y $B$ para los cuales es reducible pero sin factores lineales. ¡Encontrarlos todos es un ejercicio interesante!
