Diferenciación inversa y Equivalencia del Modelo ARIMA

Question

He desarrollado un modelo ARIMA con variable exógena. Antes de ajustar el modelo, hice que todas las series de tiempo fueran estacionarias mediante diferenciación (cada variable tenía un orden diferente de integración). Para simplificar, digamos que solo había una variable exógena. Finalmente terminé con un modelo. Teniendo en cuenta que todos mis datos son estacionarios para crear el modelo, recibí las siguientes estimaciones de coeficientes:

ARIMA(1,0,0) con media cero     

Coeficientes:
       ar1      X
      -0.6     -0.002

No había términos de MA. Tenga en cuenta que Y fue diferenciado dos veces, y X una vez. Entonces, mi fórmula es realmente así:

$Y_t'' = -0.6 Y_{t-1}'' - 0.002 X'$

Donde las comillas ( $'$ ) representan el nivel de diferenciación.

Me gustaría una representación equivalente del modelo utilizando las variables originales no diferenciadas. Así que realizo lo siguiente:

$(Y_t - Y_{t-1}) - (Y_{t-1} - Y_{t-2}) = -0.6 [(Y_{t-1} - Y_{t-2}) - (Y_{t-2} - Y_{t-3})] - 0.002(X_{t} - X_{t-1}) $

$Y_{t} - 2Y_{t-1} + Y_{t-2} = -0.6Y_{t-1} + 1.2Y_{t-2} - 0.6Y_{t-3} - 0.002X_{t} + 0.002X_{t-1}$

$Y_{t} = 1.4Y_{t-1} - 0.2Y_{t-2} - 0.6Y_{t-3} - 0.002X_{t} + 0.002X_{t-1}$

Entonces, tengo 2 preguntas.

1) ¿Es correcta mi interpretación? Parece sencillo, pero quiero verificarlo. ¿Hay una forma más rápida de realizar estas conversiones, además de la expansión y combinación tediosa que realicé anteriormente? Algunos de los modelos con los que estoy trabajando son mucho más complicados. ¿Quizás el uso del operador de retraso ayudaría? No tengo mucha práctica con el álgebra que implica el operador de retraso, y no estoy seguro si ayudaría a hacer lo que me gustaría.

2) ¿Cómo puedo realizar un procedimiento similar cuando hay términos de MA? Sé que un término de MA es equivalente a términos AR infinitos. Entonces, ¿seguiría siendo posible obtener alguna representación como $Y_t = ...? Por ejemplo, supongamos que mi ajuste produjo ARIMA(1,0,1), con una estimación de coeficiente de MA de 0.3.

¡Gracias!

Answer 1

Has malinterpretado el modelo que R está utilizando. (Estoy asumiendo que has utilizado R ya que la salida parece idéntica a lo que obtienes con el comando arima.) El modelo con un regresor y un término AR(1) puede escribirse como $$Y_t'' = -0.002 X'_t + N_t$$ donde $$N_t = -0.6 N_{t-1} + e_t$$ y $e_t$ es ruido blanco.

En notación de desplazamiento hacia atrás, esto es $$(1-B)^2 Y_t = - 0.002(1-B)X_t + \frac{1}{1+0.6B} e_t $$

Esto puede reorganizarse para evitar la función racional de B y obtener $$(1+0.6B)(1-B)^2 Y_t = - 0.002(1+0.6B)(1-B)X_t + e_t. $$ Expandiendo nos da $$(1-1.4B - 0.2B^2 + 0.6B^3) Y_t = - 0.002(1- 0.4B - 0.6B^2)X_t + e_t. $$ y luego aplicando los operadores: $$ Y_t = 1.4Y_{t-1} + 0.2Y_{t-2} - 0.6Y_{t-3} - 0.002X_t + 0.0008 X_{t-1} + 0.0012X_{t-2} + e_t. $$

Si tuvieras un modelo ARIMA(1,0,1) con coeficientes $\phi$ y $\theta$, y la misma ecuación de regresión, entonces las ecuaciones se convierten en: $$N_t = \phi N_{t-1} + \theta e_{t-1} + e_t$$ $$(1-B)^2 Y_t = - 0.002(1-B)X_t + \frac{1+\theta B}{1-\phi B} e_t $$ $$(1-\phi B)(1-B)^2 Y_t = - 0.002(1- \phi B)(1-B)X_t + (1+\theta B) e_t. $$ y así sucesivamente.