¿Puede una función no periódica tener una serie de Fourier?

Question

Considerar dos funciones periódicas. Supongamos que su suma no es periódica. Las funciones periódicas pueden ser representadas por una serie de Fourier. Si sumas las series de Fourier, obtienes una serie que representa su suma. Pero su suma no es periódica, sin embargo la has descrito usando una serie de Fourier.

Pensé que las funciones no periódicas no pueden ser representadas por una serie de Fourier. ¿Por qué esto no es una contradicción?

Answer 1

Para encontrar su serie de Fourier, una función periódica con período $R$ debe considerarse como una función definida en un círculo de circunferencia $R$, llámelo $S^1_R$. La serie de Fourier de la función es entonces su representación en la base de $L^2(S^1_R)$ dada por las autofunciones ortogonales del operador Laplaciano.

Si dos funciones tienen períodos incommensurables, entonces su suma no es periódica, no desciende a un círculo de cualquier circunferencia, y por lo tanto no tiene una serie de Fourier.

Como funciones en $\mathbb{R}$, si son suficientemente suaves, la transformada de Fourier da una descomposición análoga, pero debido a que hay muchas más autofunciones del operador Laplaciano en $\mathbb{R}$, la suma es una integral. Comparar:

Sea $e_\omega(t) = e^{2\pi i\omega t}$ para $\omega$ real. $$ \mbox{periódico ($\omega$ es un múltiplo integral de una frecuencia base): }\\ f(t) = \sum_\omega\langle f,e_\omega(t)\rangle e_\omega$$ $$ \mbox{no periódico ($\omega$ varía sobre $\mathbb{R}$): }\\ f(t) = \int\langle f,e_\omega(t)\rangle e_\omega\ d\omega$$ donde $$\langle f,e_\omega\rangle = \int f(x)\overline{e_\omega(x)}\ dx$$ Reconocerás que si integramos sobre el círculo, $\langle f,e_\omega\rangle$ da la serie de coeficientes de Fourier y si integramos sobre $\mathbb{R}$, es la transformada de Fourier.

Answer 2

La serie de Fourier de una función no periódica es realmente la serie de Fourier de su extensión periódica. Por ejemplo, hay una serie de Fourier de $f(x)=x$ en $[0,\pi]$, que en realidad es la serie de Fourier de la onda diente de sierra que se forma extendiendo periódicamente $f(x)=x$ por $\pi$. La serie de Fourier para una función no periódica no convergerá en cada punto, pero seguirá convergiendo en el sentido de $L^2$.

Además, las series de Fourier no están destinadas a ser definidas en toda la recta, de hecho, están destinadas a ser definidas en intervalos. Esto tiene que ver con los cambios en el espectro del Laplaciano a medida que el dominio aumenta: en el límite, el espectro se vuelve denso y es necesario recurrir a la transformada de Fourier en lugar de las series de Fourier.

Answer 3

Una serie de Fourier significa la amplitud de los diferentes armónicos, que son múltiplos enteros de una frecuencia base.

Es fácil ver que esta frecuencia base simplemente no existe en tu caso.

Aunque una transformada de Fourier de una función así, por supuesto, existe, lo que es trivialmente

$$F(s)=\delta(t-\omega_1)+\delta(t-\omega_2)$$

Answer 4

Para responder a la pregunta original: es una cuestión de convención o terminología. El uso más común (como se puede ver en las otras respuestas y comentarios) es que "serie de Fourier" se refiere a la de una función periódica, o a una extensión por periodicidad de una función en un intervalo a una función periódica en la línea. En particular, una suma de senos y cosenos, o exponenciales, con algunos periodos inconmensurables, a menudo no se consideraría una serie de Fourier.

Sin embargo, ciertamente tal cosa es una suma de cosenos y senos, o exponenciales, por lo que está relacionada de alguna manera. Estas cosas fueron investigadas a fondo a principios del siglo XX por Harald Bohr y otros, en parte para analizar el comportamiento de las series de Dirichlet.

Así que, por un lado, en algunos contextos "serie de Fourier" significa "de una función periódica". En otros, puede que no.

Answer 5

Hay representaciones de series de Fourier para una serie de funciones no periódicas como las siguientes:

(1) $\quad\pi(x)$ - la función fundamental de conteo de números primos

(2) $\quad\Pi(x)$ - la función de conteo de números primos de Riemann

(3) $\quad\vartheta(x)$ - la primera función de Chebyshev

(4) $\quad\psi(x)$ - la segunda función de Chebyshev

(5) $\quad U(x)=-1+\theta(x+1)+\theta(x-1)$ - donde $\theta(x)$ es la función escalón de Heaviside

Creo que el siguiente enlace proporciona una buena cantidad de información sobre la teoría y el valor de las representaciones de series de Fourier de funciones no periódicas.

Representación de la serie de Fourier de $U(x)$

Para responder de manera más precisa a la pregunta específica, asumiendo que la relación de los períodos de las dos funciones no es racional, entonces la suma de sus series de Fourier no converge al evaluarla en límites finitos de evaluación. Un requisito de convergencia condicional para sumas de series de Fourier es que todas las series de Fourier deben evaluarse exactamente con la misma frecuencia, y esta condición no se puede cumplir si la relación de los períodos de las dos funciones es irracional.

Por ejemplo, considera las siguientes dos funciones:

(6) $\quad f(x)=\operatorname{SawtoothWave}(\frac{x}{3})=\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin\left(\frac{2\,k\,\pi\,x}{3}\right)}{k}$

(7) $\quad g(x)=\operatorname{SawtoothWave}(\frac{x}{5})=\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin\left(\frac{2\,k\,\pi\,x}{5}\right)}{k}$

Cuando se evalúa en límites finitos, la suma $f(x)+g(x)$ debe evaluarse de la siguiente manera, donde se asume que la frecuencia de evaluación $f$ es un número entero positivo:

(8) $\quad f(x)+g(x)=\sum\limits_{n\in\{3,5\}}\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{f\,n}\frac{\sin\left(\frac{2\,k\,\pi\,x}{n}\right)}{k}