¿Se pueden usar las operaciones de fila y columna de forma intercambiable?

Question

¿Es posible usar operaciones de filas y columnas "al mismo tiempo" en una matriz $A$? ¿Por ejemplo, primero restar $row_1$ de $row_2$, y luego elegir multiplicar $column_3$ por una constante $c'? ¿O tienes que "seguir un método" cuando reduces una matriz? En caso afirmativo, ¿alguien podría explicar por qué?

Editar: así que permíteme explicar esto más claramente. Supongamos que tienes $$\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)$$

Primero multiplico la fila 2 por $\frac{a_{11}}{a_{21}}$, la fila 3 por $\frac{a_{11}}{a_{31}$, luego resto la fila 1 de las filas 2 y 3 para obtener una matriz de una nueva forma general: $$\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & b_{32} & b_{33} \end{array} \right)$$

con $b_{ij}$ los nuevos coeficientes que se obtuvieron por nuestras operaciones de filas. Mi pregunta es: ¿podrías entonces decir, restar la columna 1 de las columnas 2 y 3 para obtener:

$$\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & b_{32} & b_{33} \end{array} \right)?$$

Editar2: ¿Cómo es que, según las respuestas, esto es incorrecto, a pesar de que es exactamente lo mismo que hace Serge Lang en su libro "Introducción al Álgebra Lineal"? ¿Qué está pasando aquí? ¿Me están diciendo que Serge Lang no sabe reducir una matriz? Recordatorio: NO estamos resolviendo un sistema lineal, y NO es una matriz aumentada. Es solo una matriz $A$.

Editar3: aquí hay más contexto.

Answer 1

Qué significa "reducir una matriz"

Un problema aquí es qué se entiende por "reducir una matriz". El único propósito que puedo ver para reducir una matriz es decidir si la matriz tiene alguna propiedad específica. Cualquier propiedad en la que estés interesado debe permanecer sin cambios bajo las operaciones que realices, o no habrás tenido éxito en tu propósito.

Si investigas detenidamente el libro de Serge Lang, encontrarás que él tenía un propósito específico al reducir la matriz, (para encontrar el rango, discutido a continuación) lo cual le permite utilizar operaciones de columnas para lograr su objetivo.

Es importante tener en cuenta que para la mayoría de las personas, la frase "reducir una matriz" se refiere específicamente a encontrar la Forma Escalonada Reducida por Filas (también conocida como RREF). Como su nombre indica, RREF se define utilizando las filas de la matriz: 1. La entrada no nula más a la izquierda en cualquier fila es un 1 (llamado un "1 principal"). 2. Los "1 principales" en filas más bajas están más a la derecha que los "1 principales" en filas más altas. 3. Otras entradas en una columna con un "1 principal" son cero. 4. Todas las filas que consisten enteramente de ceros están en la parte inferior de la matriz. Dado que estás definiendo esta matriz en términos de filas, debes realizar operaciones de fila para lograrlo. De hecho, si sí utilizas operaciones de fila, entonces dada una matriz de inicio particular (que puede o no ser cuadrada, por cierto), hay precisamente una RREF a la que se reducirá. Si realizas operaciones de columna, no llegarás a esta misma matriz.

Relaciones con soluciones de ecuaciones

El punto que otros han mencionado sobre encontrar soluciones es válido. Cada matriz se puede utilizar para representar los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, independientemente de si quieres que lo haga o no. Muchas de las propiedades importantes de las matrices están fuertemente relacionadas con este sistema de ecuaciones lineales, por lo que es una buena idea contar con métodos que preserven estas propiedades.

Por ejemplo, el conjunto de soluciones para $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ es el mismo que el conjunto de soluciones para las ecuaciones lineales (homogéneas), y las filas no nulas de la RREF forman una base para el espacio perpendicular a este espacio de soluciones. Ninguna de estas propiedades se conserva mediante operaciones de columna, pero sí mediante operaciones de fila.

Más importante aún, solo para reiterar: la solución a tus ecuaciones lineales homogéneas definitivamente no se conserva mediante operaciones de columna, y esta es una consideración importante independientemente de si deseas que tu matriz represente ecuaciones lineales o no.

Observa que hay cosas que las operaciones de columna sí conservan, como el rango de la transformación lineal definida por tu matriz. Sin embargo, una mezcla de operaciones de fila y columna no conservará esto, ni la mayoría de las propiedades que te interesan.

La inversa de una matriz cuadrada

Una propiedad que una mezcla de operaciones de fila y columna sí conserva es la invertibilidad. Puedes ver esto a partir de la idea de las matrices elementales.

Realizar operaciones de fila elementales corresponde a multiplicar por la izquierda por una matriz elemental. Por ejemplo, la operación de fila "nueva R2 = R2 - 3R1" se produce en una matriz de 3 por n cuando multiplicas por la izquierda por $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Las operaciones de columna, por otro lado, se producen cuando multiplicas por la derecha por una matriz. La operación de columna "nueva C2 = C2 - 3C1" se produce en una matriz m por 3 cuando multiplicas por la derecha por $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$.

El proceso de encontrar la inversa de una matriz cuadrada mediante la ampliación de una identidad y realizando operaciones de fila coincidentes en ambas funciona debido a estas matrices elementales. Si realizas operaciones de fila en $A$ para obtener $I$ y las matrices elementales correspondientes a estas operaciones son $E_1$, ..., $E_k$, entonces tenemos $E_k ... E_1 A = I$ y por lo tanto la inversa de $A$ debe ser $E_k ... E_1$. Pero esto es igual a $E_k ... E_1 I$, ¡que es lo que obtienes cuando realizas todas esas operaciones de fila en la identidad!

Esto funcionaría perfectamente si solo realizaras operaciones de columna; sin embargo, una mezcla de ambas es un poco más difícil de entender. Supongamos que realizas operaciones de fila con matrices $E_1$, ..., $E_k$ y operaciones de columna con matrices $F_1$, ..., $F_h y produces la identidad como resultado. Entonces $$ \begin{align} E_k \dots E_1 A F_1 \dots F_h &= I\\ A &= (E_1)^{-1} \dots (E_k)^{-1} I (F_h)^{-1} \dots (F_1)^{-1}\\ A^{-1} &= F_1 \dots F_h I E_k \dots E_1 \end{align} $$

Esto no es el resultado de realizar las operaciones de columna y fila coincidentes en $I porque las matrices están en el lado equivocado!

Así que si puedes reducir una matriz a la identidad mediante operaciones de fila y/o columna, entonces esto prueba que la matriz es invertible, pero es complicado determinar cuál es la inversa a menos que solo realices operaciones de fila o de columna.

Finalmente, observa que operaciones simultáneas de fila y columna te permitirán calcular fácilmente el determinante de una matriz cuadrada, por lo que hay una cierta ventaja al hacerlo. En particular, una operación de fila/columna del tipo "nueva Ri = Ri + k Rj" o "nueva Ci = Ci + k Cj" no cambia el determinante, por lo que si te limitas a esas operaciones, puedes obtener tu matriz en una forma en la que sea claro cuál es el determinante más rápidamente que si te limitaras a solo una. Sin embargo, vale la pena enfatizar que esto se relaciona con mi comentario original sobre el propósito que estás tratando de lograr: esto solo es realmente una ventaja en la situación en la que estás encontrando determinantes.

El rango de una matriz

Por último, esta reducción de fila y/o columna también conserva el rango de tu matriz. Si haces este tipo de reducción en cualquier matriz, lo que estás garantizado de producir eventualmente si lo intentas es una matriz con algunos 1 en su diagonal principal (pero no necesariamente hasta abajo) y ceros en todas partes. Algo así como esto: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0& 0\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

El número de 1 en esa diagonal es el rango de tu matriz. Es decir, es la dimensión del espacio de columnas y del espacio de filas, y la dimensión del rango de la transformación lineal definida por tu matriz, y n menos la dimensión del espacio de soluciones de tu sistema de ecuaciones. Por lo tanto, las dos matrices anteriores tienen un rango de 3 y 2 respectivamente.

Sin embargo, no hay nada en la forma final reducida que te diga cuáles son las soluciones reales de las ecuaciones o cuáles son las bases de los espacios. Todo esto se puede cambiar de formas que no son fáciles de seguir si realizas operaciones de fila y columna. Si solo realizaras operaciones de columna, entonces las columnas principales-1 serían una base para el rango de la transformación lineal, pero con operaciones de fila y columna, estas columnas son todos vectores de base estándar y no necesariamente correctos. Si solo realizaras operaciones de fila, entonces las columnas no "principales-1" aparecerían como las primeras varias coordenadas de los vectores en una base para el espacio nulo de la matriz, pero con operaciones de fila y columna, estas columnas son todas cero.

Resumen

1. La mayoría de las personas se refieren a la Forma Escalonada Reducida por Filas cuando dicen "matriz reducida", la cual se define haciendo solo operaciones de fila.
2. Las operaciones de fila preservan muchas propiedades útiles de las matrices y te brindan cierta información sobre las matrices.
3. Las operaciones de columna preservan algunas propiedades útiles de las matrices y te brindan cierta información sobre las matrices.
4. Las mezclas de operaciones de fila y columna solo conservan un pequeño número de propiedades. En particular, una mezcla preservará el rango y la invertibilidad de una matriz (pero no proporcionará bases para los subespacios asociados ni la inversa real en sí).

Answer 2

Digamos que tienes un sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} a_{11} x_1+\ldots +a_{1m}x_m =b_1\\ \vdots \\ a_{n1}x_1+\ldots + a_{nm}x_m = b_n \end{cases}$$

Entonces la matriz ampliada correspondiente es

\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} & | & b_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm} & | & b_n\end{pmatrix}

Las operaciones de fila corresponden a agregar y escalar ecuaciones o reordenarlas, lo cual - por la fuerza del álgebra regular - no cambia el sistema en general. Sin embargo, las operaciones de columna SÍ cambian el sistema, porque si escalamos, por ejemplo, la última columna con todos los $b$, vemos que esto cambia lo que estamos intentando resolver.

En particular: digamos que tu primer set de ecuaciones es simplemente:

$$\begin{cases} x + y = 1 \\ x-y = 0\end{cases}$$

entonces la matriz es

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & -1 & | & 0\end{pmatrix}$$

Es fácil ver que la solución es $x=y=1/2$, sin embargo, si podemos escalar las columnas también, obtenemos $x=y=1$ simplemente escalando la última columna por un factor de $2$, y si pudiéramos sumar columnas, obtendríamos la matriz:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 \\ 1 & -1 & | & 0\end{pmatrix}$$

sumando la última columna a la segunda. Esto nos da el sistema:

$$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x-y=0\end{cases}$$

donde vemos que $x=y=1/3$, una solución diferente.

Answer 3

Cuando se realizan operaciones de columna en lugar de operaciones de fila, se cambia la solución en lugar del lado derecho. Para ser breves, digamos que estamos resolviendo $Ax=b$; denota la nueva solución después de una cierta operación de columna por $x'$.

• Si multiplicas la columna 1 por 2, $x'_1 = x_1/2$.
• Si intercambias las columnas 1 y 2, $x'_1=x_2$, $x'_2=x_1$.
• Si sumas la columna 1 a la columna 2, $x'_1 = x_1 - x_2$. (Verifica esto, solo lo intenté en un ejemplo $2 \times 2$.)

Estos problemas aparte, sí, puedes utilizar tanto operaciones de columna como operaciones de fila en un procedimiento de eliminación gaussiana. Sin embargo, hay muy poco uso práctico para hacerlo. Casi el único uso es realizar el pivoteo utilizando intercambios de fila y columna (llamado "pivoteo total", en lugar de "pivoteo parcial"), pero uno encuentra que en la práctica solo los intercambios de fila son suficientes.

Por cierto, el pivoteo total es bastante lento, porque requiere escanear toda la matriz, en lugar de solo una columna, al encontrar cada pivote. Esto aumenta el tiempo de ejecución en un factor constante, mientras que el pivoteo parcial solo agrega tiempo cuadrático a un procedimiento cúbico.

Answer 4

Supongamos que queremos realizar operaciones de fila y columna en la matriz $A$. Realizar una operación de fila es lo mismo que multiplicar por la izquierda por una cierta matriz elemental $E_R$; realizar una operación de columna es lo mismo que multiplicar por la derecha por una cierta matriz elemental $E_C$. Dado que $(E_R A)E_C = E_R(A E_C)$ (es decir, dado que la multiplicación de matrices es asociativa), el orden en el que realices una operación de fila y una operación de columna no importa: terminas con la misma matriz en ambos casos.