Prueba de que la suma de las raíces unitarias complejas es cero

Question

Cuando leía una prueba de por qué $x^3+y^3=z^3$ no tiene soluciones enteras no triviales, me encontré con la siguiente identidad:

$$y^3 = z^3-x^3 = (z-x)(z-\omega x)(z-\omega^2 x) \qquad \text{donde } \omega = e^{2\pi i /3} \quad \text{i.e.}\quad \omega^3 = 1$$

Expandiendo el lado derecho resulta en:

$$z^3-(1+\omega+\omega^2)z^2x+(\omega+\omega^2+\omega^3)zx^2-\omega^3x^3 = z^3-x^3,$$

puesto que obviamente $\omega+\omega^2+\omega^3 = 1+\omega +\omega^2 = 0$. Bueno, entonces pensé en lo obvio que es. Quiero decir, geométricamente es obvio que la suma de todas las raíces de la unidad de orden $n$ debe ser igual a $0$, pero ¿hay una prueba analítica? No fui capaz de encontrar una de inmediato.

Answer 1

Esta es solo una reescritura más general de la respuesta de Yves Daoust:

$$\begin{align*} S&=\sum_{k=0}^{n}\omega^{k}\\\\ \omega\cdot S&=\sum_{k=0}^{n}\omega^{k+1}\\\\ &=\omega+\sum_{k=1}^{n-1}\omega^{k+1}+\omega^{n+1}\\\\ &=1+\omega+\sum_{k=2}^{n}\omega^{k}=\sum_{k=0}^{n}\omega^{k}\\\\ &=S\\\\ \implies S&=0 \end{align*}$$