Prueba de que la suma de las raíces unitarias complejas es cero

Question

Cuando leía una prueba de por qué $x^3+y^3=z^3$ no tiene soluciones enteras no triviales, me encontré con la siguiente identidad:

$$ y^3 = z^3-x^3 = (z-x)(z-\omega x)(z-\omega^2 x) \qquad \text{donde } \omega = e^{2\pi i /3} \quad \text{i.e.}\quad \omega^3 = 1$$

Expandiendo el lado derecho resulta en:

$$ z^3-(1+\omega+\omega^2)z^2x+(\omega+\omega^2+\omega^3)zx^2-\omega^3x^3 = z^3-x^3,$$

puesto que obviamente $\omega+\omega^2+\omega^3 = 1+\omega +\omega^2 = 0$. Bueno, entonces pensé en lo obvio que es. Quiero decir, geométricamente es obvio que la suma de todas las raíces de la unidad de orden $n$ debe ser igual a $0$, pero ¿hay una prueba analítica? No fui capaz de encontrar una de inmediato.

Answer 1

Creo que acabo de encontrar una vez más la respuesta yo misma justo después de enviar la pregunta, es tan simple...

Sea $\omega = e^{2 \pi i / n}$ lo que implica $\omega^n = 1$.

$$ 1 + \omega + \omega^2 + \ldots + \omega^{n-1} = \frac{\omega^n-1}{\omega-1} = 0 $$

Answer 2

También considera $$\omega S=\omega(1+\omega+\omega^2)=\omega+\omega^2+\omega^3=\omega+\omega^2+1=S.$$ entonces $S=0$ a menos que $\omega=1$

No necesitas saber la fórmula de la suma para progresiones geométricas.

Answer 3

De manera no geométrica, las raíces n-ésimas de la unidad son las soluciones de la ecuación $x^n - 1 = 0$. El coeficiente de $x^n$ es $1$ y el coeficiente de $x^{n-1}$ es $0, por lo que la suma de las raíces es cero.

Geométricamente, las raíces n-ésimas de la unidad están ubicadas de forma equidistante alrededor de un círculo unitario, por lo que su suma es el centro del círculo, que es $0 + 0i$.

Answer 4

Sea $S$ la suma de las $n$ raíces de la unidad. Tenemos

$$\exp\bigg(\frac{2{\pi}i}{n}\bigg)S = \exp\bigg(\frac{2{\pi}i}{n}\bigg) \sum_{a=0}^n \exp\bigg(\frac{2{\pi}ia}{n}\bigg)$$

$$= \sum_{a=0}^n \exp\bigg(\frac{2{\pi}i(a+1)}{n}\bigg)$$

$$= \sum_{b=0}^n \exp\bigg(\frac{2{\pi}ib}{n}\bigg), \; b=a+1$$

$$= S$$

Porque $a+1$ es simplemente un desplazamiento cíclico de las raíces, la suma sigue conteniendo los mismos términos. Por lo tanto, hemos demostrado que

$$\exp\bigg(\frac{2{\pi}i}{n}\bigg)S = S$$

y por lo tanto $S = 0$.

Terras, A. (1999). The Discrete Fourier Transform on the Finite Circle ℤ/nℤ. In Fourier Analysis on Finite Groups and Applications (London Mathematical Society Student Texts, pp. 30-45). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626265.004

Answer 5

Sabes que $$\omega = e^{\frac{2\pi i}{n}}$$

$$\Longrightarrow \omega^n = 1$$

Ahora, si la suma (la de todas las raíces hasta n-1) es S, puedes plantear:

$$1+\omega S = \omega^n = 1$$

$$1+\omega S = 1$$

$$\omega S = 0$$

$$S = \frac{0}{\omega} = 0$$

Parece un poco ghetto pero estoy bastante seguro de que es legítimo.