Demostrar o refutar la existencia de un apreciable conjunto 'igualmente' distribuido en [0,1].

Question

Existe un conjunto medible E en $[0,1]$ tal que para cada intervalo abierto $I$$[0,1]$, $m(E\cap I)=m(I)/2$ donde $m$ denota la medida de Lebesgue?

Intuitivamente creo que tal existe y es 'igual' distribuido en $[0,1]$, pero no sé cómo describir con más precisión este conjunto.

Answer 1

Supongamos que hay un $E.$ Clara $m(E) > 0.$ Deje $\epsilon>0.$, Entonces hay pares distintos abrir los intervalos de $I_1,I_2, \dots$ tal que $E \subset \cup_n I_n$$\sum_n m(I_n) < m(E) +\epsilon.$, con Lo que

$$m(E) = m(E\cap (\cup_n I_n)) = \sum_n m(E\cap I_n) = \sum_n \frac{m(I_n)}{2} < \frac{m(E)+\epsilon}{2}.$$

Esto implica $m(E) <\epsilon.$ Desde $\epsilon$ es arbitrariamente pequeño, $m(E) = 0,$ contradicción.

Answer 2

Un enfoque estándar para este problema es aplicar la diferenciación de Lebesgue teorema. En particular, considere la función $$f(x)=\int_0^x \chi_E\,dx$$ donde $\chi_E$ es la función de indicador de $E$. Uno puede comprobar que para $b>a$ tenemos $$f(b)-f(a)=m(E\cap (a,b)).$$ Si $E$ satisface su propiedad, tendríamos que dividir ambos lados por $b-a$ le da: $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}2.$$ Sin embargo, si nosotros, es decir, corregir $b$ y enviar $a$ $b$como límite, obtenemos $$f'(b)=\frac{1}2$$ lo que se contradice con la diferenciación de Lebesgue teorema, ya que $f'$ debe ser igual a $\chi_E$ en casi todas partes, pero $\chi_E$ toma el valor de $\frac{1}2$ a ninguna parte.