Sea $A \subset \mathbb R^n$ una región acotada y medible y sea $$X = \{ f : \text{ medible en } A \text{ y } \|f\|_{L^\infty(A)} <\infty\}.$$ ¿Cómo podemos demostrar que $d(f, g) = \int_A \min (1, |f-g|) dx$ es una métrica completa en $X$?
Respuesta
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s.harp
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Es importante que $X$ no sea un espacio de funciones, sino un espacio de clases de equivalencia de funciones a través de $f\sim g\iff f=g$ casi en todas partes (lo que significa $\mu(\{x\mid f(x)\neq g(x)\})=0$). De lo contrario, no se tiene $d(f,g)=0\implies f=g$ y se está en la situación de que $d$ es una pseudo-métrica.
La adecuación de $d$ se deduce de los elementos de $X$ siendo medibles y $A$ teniendo un volumen finito, ya que entonces $\min(1,|f-g|)$ es una función medible acotada en un conjunto de volumen finito. La simetría y positividad de $d$ son claras a partir de la definición. Es cierto que $d(f,g)=0\iff f=g$ casi en todas partes:
Sea $A_n(f,g)=\{x\in A\mid |f-g|(x)>1/n\}$, es inmediato que $d(f,g)≥\frac1n\mu(A_n)$ para todo $n≥1$, por lo que si $d(f,g)=0$ se tiene $0=\sum_n\mu( A_n) = \mu(\bigcup_n A_n)=\mu(\{x\mid |f-g|(x)>0\})$.
La desigualdad triangular se sigue de $\min(1,|x-z|)≤\min(1,|x-y|)+\min(1,|y-z|)$ siendo verdadera para $x,y,z$ en algún espacio vectorial normado. Si estás interesado en ver esto, lo escribiré.
Así que $X$ es un espacio métrico. Pero no necesariamente es completo. Si revisas la demostración de que es un métrica, verás que no necesitábamos la condición de que las funciones sean esencialmente acotadas. Así que lo que siempre podemos hacer es extender $X$ a $\tilde X =\{f:A\to\overline{\mathbb{R}}\mid f\text{ medible}\}$. Si puedes encontrar una secuencia $f_n\to f$ con $f_n\in X$ y $f\in \tilde X-X$ entonces $X$ no es completo.
Sea $A=[0,1]$, $f_n(x)=\chi[1/n,1](x)\cdot (1+\frac1{\sqrt x})$ y $f(x)=1+\frac1{\sqrt x}$.
Tienes que $$d(f_n,f)=\int_0^{1/n}1dx+\int_{1/n}^{1}0dx =1/n$$ Así que $f_n\to f$ y $X$ no es completo.
Esta construcción se puede aplicar siempre que $A$ contenga un punto $p$ tal que $\mu(B_\epsilon(p)\cap A)\neq0$ para todo $\epsilon$. Hay casos en los que $X$ es completo, como por ejemplo cuando $\mu(A)=0$. Entonces $X$ es un espacio formado por un solo punto y por lo tanto es completo.
