Representaciones del grupo simétrico con imagen en un subgrupo dado de $\operatorname{GL}_m$

Question

Sea $S_n$ el grupo simétrico en $n$ elementos. Las representaciones irreducibles de $S_n$ están parametrizadas por particiones $\lambda$ de $n$ y ya están definidas sobre los enteros $\mathbb Z$. Sea $\rho^\lambda: S_n \to \operatorname{GL}_m(\mathbb Z)$ una representación irreducible de ese tipo. Me pregunto si hay alguna manera de caracterizar cuando la imagen de $\rho^{\lambda}$ se encuentra en un subgrupo propio de $\operatorname{GL}_m$, es decir, $$\rho^\lambda: S_n \to G(\mathbb Z) \subset \operatorname{GL}_m(\mathbb Z),$$ donde $G$ es algún grupo (algebraico) con un embebido en $\operatorname{GL}_m$, por ejemplo el grupo simpléctico $\operatorname{Sp}_{2k}$, cuando $2k = m$. Idealmente, dicha caracterización se daría en términos de particiones y tablas de Young. Estaría dispuesto a considerar puntos en $\mathbb Q$ en lugar de puntos en $\mathbb Z$, pero realmente no quiero asumir que mi base es un campo algebraicamente cerrado.

Agradecería cualquier pista.

Answer 1

Permítanme trabajar sobre $\mathbb Q$ y estudiar si $G = Sp_{2k}$ o $O_m$. Entonces una representación siempre lleva un forma ortogonal invariante, y (como dice YCor en los comentarios) lleva una forma simpléctica invariante si y solo si cada representación irreducible aparece con multiplicidad par.

Cada representación irreducible de $S_n$ lleva una forma ortogonal invariante. (Por ejemplo, Young construyó matrices de representación que son ortogonales con respecto al producto punto. [EDIT: sin saber nada sobre el grupo simétrico, también podemos simplemente promediar una forma ortogonal definida positiva para obtener una invariante.]) Ahora sea $V$ una representación de $S_n$ con una forma simpléctica invariante $\omega$. Dado que las representaciones irreducibles complejas de $S_n$ están definidas sobre $\mathbb Q$, tenemos una descomposición

$$ V = \bigoplus_\lambda V_\lambda \otimes \mathrm{Hom}_{S_n}(V_\lambda,V),$$ donde $V_\lambda$ es el módulo de Specht asociado a $V$. Tomar el producto tensorial de la forma ortogonal en $V_\lambda^*$ y $\omega$ en $V$ da una forma simpléctica en $\mathrm{Hom}_{S_n}(V_\lambda, V)$. Por lo tanto, la multiplicidad de $V_\lambda$ en $V$ es par para todos los $\lambda$. A la inversa, si todas las multiplicidades son pares, especificar formas simplécticas en $\mathrm{Hom}_{S_n}(V_\lambda,V)$ para todos los $V$ define una forma simpléctica invariante a través de productos tensoriales y sumas directas en $V$.