Espacio Complejo: ¿Por qué disco unidad?

Question

En el espacio complejo, para simplificar, a veces se consideran las propiedades de las funciones en curvas en el círculo unitario en el plano complejo, con el centro (0, 0). Entonces, básicamente me gustaría saber ¿por qué solo el círculo? ¿Significa que todas las demás curvas suaves pueden ser representadas por combinaciones de círculos con radio arbitrario?

Answer 1

Observación terminológica: es mejor usar palabras diferentes para el círculo unitario $|z|=1$ y el disco unitario $|z|<1$. Cuando mencionas la ecuación de Laplace, probablemente tienes en mente el disco.

Una característica atractiva del círculo $|z|=1$ es que es un grupo bajo la multiplicación. Como producto de la estructura de grupo, $|z|=1$ tiene un grupo transitorio de isometrías, que es una forma elegante de decir que todos los puntos se ven iguales porque podemos rotar el círculo. Por lo tanto, soporta una medida de rotación invariante canónica, la medida de Lebesgue en el círculo. Usando la invarianza del operador de Laplace bajo rotaciones, podemos concluir (al menos de manera heurística) que la solución del problema de Dirichlet $\Delta u=0$, $u_{\partial D}=g$ cumplirá con la propiedad del valor medio: $u(0)$ es el promedio de $g$. Esto puede no parecer mucho, pero si también usamos la invarianza de la Laplaciana bajo mapas conformales (específicamente las transformaciones de Moebius del disco), la solución del problema de Dirichlet se obtiene de inmediato.

Para dominios de otras formas (por ejemplo, triángulos) resolver el problema de Dirichlet no es ni mucho menos tan fácil, porque el argumento anterior no se aplica.