Comprendiendo un ejemplo de un Dominio Integral donde la Condición de Cadena Ascendente sobre Ideales Principales no se cumple

Question

En la Introducción de Nicholson al Álgebra Abstracta, el texto da un ejemplo de un Dominio Integral en el que falla la Propiedad de la Cadena Creciente de Principales. Él escribe:

Por ejemplo, considera $R=\{n+xf\mid n \in \mathbb{Z}, f \in \mathbb{Q[x]} \}$, el conjunto de todos los polinomios en $\mathbb{Q}[x]$ cuyo término constante está en $\mathbb{Z}$. Entonces $R$ es un dominio integral (subanillo de $\mathbb{Q}[x]$), pero $\langle x\rangle \subset \langle \frac {1} {2} x\rangle \subset \langle \frac {1}{4}x\rangle \dotsb$

No estoy seguro de qué significa la notación aquí. ¿Es $\langle x\rangle = \{ xf\mid x \in \mathbb{Q}[x] \}$ (entonces el término constante sería $0$)?

No estoy seguro de cómo mostrar que hay una cadena creciente, se agradecen las ideas.

Answer 1

Si $g\in R$, entonces $\langle g\rangle=\{gf\mid f\in R\}$ es el ideal principal generado por $g$ en $R$.

Claramente $\langle\frac{1}{2^n}x\rangle\subseteq \langle\frac{1}{2^{n+1}}x\rangle$, porque $$\frac{1}{2^n}x=2\frac{1}{2^{n+1}}x$$ y $2\in R$. Por otro lado, no existe ningún elemento $h\in R$ tal que $$\frac{1}{2^{n+1}}x=\frac{1}{2^n}xh$$ porque podemos cancelar $x$ y evaluando en $0$ resultaría en $h(0)=1/2$. Por lo tanto $$\frac{1}{2^{n+1}}x\notin\Bigl\langle\frac{1}{2^n}x\Bigr\rangle$$ y la inclusión $\langle\frac{1}{2^n}x\rangle\subset \langle\frac{1}{2^{n+1}}x\rangle$ es estricta.